Das Pythagoras´sche Problem mit Fermat

 

 

Der Tag war heiß und lang, und es schien, er würde nie enden. Pythagoras gönnte sich einen Kurzurlaub von seinen altklugen Schülern und jetzt ärgerte sich darüber. Jedes Mal, wenn er frei hatte, bemerkte er erst, dass das Haus eine ordentliche Reparatur brauchte, dass die Schüler ihre Dienstaufgaben nicht allzu ernst nahmen – die Reben nicht angebunden waren, der Garten nicht gejätet war, der Müll stankt und der Hof schlecht gekehrt war und kein frisches Wasser aus dem Brunnen da war. Er war bereits betagt und körperlich ziemlich ausgezehrt, so dass Garten und Hof ihm schon zu schaffen machten. Und diese Hitze, nicht mal ein Windhauch…. Gegen den Ärger hatte der alte Lehrer ein probates Mittel – sich in die Wissenschaft zu stürzen und über irgendwelche wichtige wissenschaftliche Probleme zu sinnieren. Nur fiel ihm heute nichts Passendes ein – entweder waren alle wissenschaftlichen Probleme bereits gelöst, oder sein Ärger war so groß, dass er sich nicht konzentrieren konnte. Zum Ärger kam noch ein Gefühl bodenloser Langeweile hinzu und das ärgerte ihn noch mehr. Wie soll man bloß seiner freigewählten Lebensweise von einem “bios theoretikos” nachgehen, wenn dem Theoretiker nichts einfällt, worüber er theoretisieren könnte? Und es ist nicht mal was zu trinken da. Vor lauter Frust griff er nach einer streng behüteten Amphore mit dem guten Harzwein aus seiner Heimat, schenkte sich einen halben Kantaros voll und schlürfte von dem guten kühlen Tropfen. Bald legte sich sein Ärger über den unnütz verlorenen Tag und seine Gedanken, wie es in einem solchen Zustand üblich ist, begannen sich um die Fragen zu drehen, die die Welt nicht braucht.

“Mein Satz”, – dachte er sich, – “ist schon gut. Aber da fehlt noch etwas. Wenn die Quadratpotenzen sich so verhalten, was ist mit den anderen Potenzen? Zum Beispiel, mit der Quadratpotenz der Quadratpotenz? Ganz klar, die Rechnung kann laut meinem Satz auf jeden Fall aufgehen, wenn die Quadratpotenzen der Kathetenlängen selbst Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks darstellen, dessen Hypotenuse den Wert der Summe dieser Quadratpotenzen hat. Aber das kann unmöglich ein Dreieck, geschweige ein rechtwinkliges sein – wenn die Summe der Katheten den Wert der Hypotenuse bildet, so handelt es sich um zwei gleich lange Strecken. Also, es stimmt doch nicht. Einer von den beiden ist wohl blöd – ich oder mein Satz. Oder die Fragestellung selbst?” Und er nahm sich noch einen Schluck vom edlen Tropfen.

Plötzlich sah er sich in einem dunklen Waggon der Moskauer S-Bahn durch den heftigen Stoß des Zuges an den beschmierten Türrahmen gepresst mit den in dessen Schlitzen eingequetschten Zigarettenkippen auf eine grüne Glasflasche in seiner Hand blickend. “Moskau-Petuschki” – erinnerte er sich plötzlich. ” Woher weiß ich das… was das soll das schon wieder?”. Seine Fähigkeit, die Zukunft hin und wieder als eine Art Dejavu zu sehen war ihm bewusst, aber sie machte ihm meist keine Freude. Die Zukunft, die er sah war mehr als düster und kaum erträglich und schon deshalb unerwünscht. Nur ließen sich ihre Erscheinungen nicht steuern. Und schon tauchte die nächste Erscheinung auf – ein beleibter Mann mit einer komisch zerzausten, schlecht sitzenden Perücke kritzelte etwas auf einem Papierfetzen neben dem geöffneten Buch, in dem sein Satz abgebildet war. “Diophantes”, – las Pythagoras, – “ist wohl auch ein Grieche… Kenne ich den? Und der Mann heißt Fermat… Fermatos, Fermates, Fermatus… ? Komische Namen haben diese Gallier. Was will er bloß mit meinem Satz anfangen?”.

Der schwere süße Wein wirkte unverdünnt ziemlich nachhaltig, aber das abgestandene Wasser hätte in ungenießbar gemacht und so döste Pythagoras ein Weilchen, bis ihn sanft eine leichte Nachmittagsbrise küsste. Der Rausch war etwas verflogen und er beschloss, Feuer für sein vegetarisches Süppchen zu machen. Seine Erinnerung an die Zukunft ließ ihn dennoch nicht los. “Wenn diese düstere Erscheinung die Zukunft ist, dann sollte ich etwas dagegen unternehmen.” Bei seinem festen Glauben an die Seelenwanderung war es ein unerträglicher Gedanke, als Mann oder Maus in diese stinkende, ärmliche und kalte Zukunft wieder hineingeboren zu werden. Als Seher hatte er diesbezüglich einen Vorteil, er konnte sich die Zukunft anschauen und, sofern es ihm möglich war, diese bei issfallen ändern, solange es noch nicht zu spät war.

“Was wollte der Gallier? Ach ja, das Problem mit den anderen Potenzen lösen. Nun gut, schauen wir mal. Wie war das nun? Also, aⁿ + bⁿ= cⁿ… . Eigentlich sind es zwei Probleme. Entweder, stützt sich diese Annahme auf meinen Satz und es handelt sich um das Verhältnis zwischen der Quadratpotenz eines Wertes und den höheren Potenzen desselben Wertes, oder es geht um das Verhältnis der Summe potenzierter Werte zu einem anderen potenzierten Wert. Untersuchen wir zunächst das erste Problem. Ist n = 4, dann ist c⁴ = (c²)², oder (a²+b²)². Mal schauen: für das ägyptische Dreieck gilt somit 5⁴= 625, abzüglich 337 – bleibt 288. Und das ist 12² doppelt genommen. Also, man kann davon ausgehen, dass in diesem Falle die Formel etwa so aussieht: (a² + b²)² = (a² + b²) + 2(ab)² = c ⁴. Aber wie sieht es bei den anderen Potenzen aus? Gut, bei n = 3 haben wir c³ = 125, und die Summe der Katheten in dritter Potenz ist gleich 91. Die Differenz beträgt 34. Woraus lässt sich dieser Differenzbetrag vernünftig zusammenstellen? Ziehen wir erst mal 4² = 16 ab. Es bleibt das Doppelte von 3², also 18. Das lässt sich auch als eine Formel darstellen: (a³ + b³) + (2a² + b²) = c³. Wie es aussieht, zeichnet sich da eine gewisse Steigerung ab. Wie lässt sie sich bloß formulieren? Bei der fünften Potenz, zum Beispiel: c⁵ = 5⁵ = 3125; a⁵ = 3⁵ = 243; b⁵ = 4⁵ = 1024. Also, c⁵ – (a⁵ + b⁵) = 3125 – 1267 = 1858. Der Differenzbetrag setzt sich wie folgt zusammen: 1858 = 256 + (9 × ((64+16+9)×2 = (4⁴) +(3² × (( 4³ + 4² +3²)× 2). Alles in allem, c⁵ = (a⁵ + b⁵) + b³ + (a² × ((b³ + b² + a²) × 2). Aus diesen drei Formeln könnte ich sicherlich eine hübsche Funktion ableiten, wenn ich bloß wüsste, was das ist.”

Zufrieden mit sich und der Welt nahm er seinen Topf aus der Glut heraus und löffelte vorsichtig die heiße Brühe aus. Die Hitze hat bereits nachgelassen und die Sonne neigte sich langsam zum blauen Horizont des fernen Meeres. Es wurde frisch. Pythagoras setzte sich nähe an die Glut des erloschenen Feuers und begann auf dem runden glatten Topfabdruck in der Asche seine Zeichnungen zu kritzeln.

“Jetzt, das zweite Problem. Angenommen, die Summe gleicher Potenzen der Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks die gleiche Potenz der Hypotenuse eines Dreiecks bildet. Aber sicherlich nicht des gleichen Dreiecks, zu dem die Katheten gehören. Zum Beispiel 3³ + 4³ = 91. Die Hypotenuse müsste also die Kubikwurzel aus diesem Wert betragen und die wäre kleiner als 5 und größer als 4. Denn 5³ ist gleich 125 und 4³ ist gleich 64. Also, ist es die Hypotenuse eines nicht rechtwinkligen Dreiecks. Wie ist das bei der vierten Potenz? Genauso. Aber die Differenz ist noch größer – Wurzel aus 347 (= 256 + 81) 625 -256 = 369:9=41. 347 ist um 9×9 größer als 256, und 625 ist um 9×41 größer als 256. Dann heißt es, wir haben es mit einem anderen Winkel zu tun. Ist eine hübsche Proportion. So lassen sich vielleicht Tabellen für die Winkelgrößen erstellen, ohne dass man dreihundert Jahre später trigonometrische Funktionen erfinden muss.”

Er gratulierte sich zum Erfolg und gönnte sich noch einen Schluck aus der fast leeren Amphore. Die letzten Tropfen schüttete er in die Glut – die Götter dürfen auch nicht leer ausgehen. Auch wenn sie diesen herrlichen Wein nicht zu schätzen vermögen, sind sie eitel und argwöhnisch, wenn es um mangelnde Huldigung ihrer Wenigkeit geht, schmunzelte er dabei im Geiste. Es wurde kühler, die Schattenspitze der großen Zypresse am Gartentor kletterte bereits über die Stufen in die weit geöffnete Tür hinein, als die Sonne den blauen Rand des Meeres streifte. Er blickte zum letzten Mal auf seine Zeichnung und ging ins Haus schlafen.

Am nächsten Tag entdeckten ihn seine Schüler zu später Stunde immer noch auf seinem Bett liegen. Er war nicht mehr im Stande sich zu bewegen. Nachts hatte ihn ein Schlaganfall ereilt. Mühsam verzog er seinen Mund und krächzte: ” Topfabdruck… Asche, nicht kehren…”. Aber die Asche samt den Zeichnungen war bereits von seinen reuemutigen Schülern zusammengekehrt worden. Das hat er allerdings nicht mehr erfahren. Einige Minuten später war er tot und begann seine Seelenwandereng in die ungemütlich gebliebene Zukunft seiner Vorsehung.

 

El Sid, Quetzdölsdorf, 2015

Das Fermatsche Problem mit Pythagoras

Erinnern wir uns – die 21 Knoten und das griechische Alphabet? Alpha ist nicht gleich Beta und schon gar nicht Omega – hätte Pythagoras beim Einwand von Hipassos ausrufen können. Und wenn zwei Katheten gleich lang sind, dann gilt 2a² = c², was nicht der Fall ist. Und schon wäre der Einwand aus der Welt geschafft. Oder doch nicht? “A” ist nicht gleich “B” – Kant erhob diese alphabetische Belanglosigkeit zum Axiom, auf dessen Grundlage Frege seine “Grundlagen der Arithmetik” baute. Was haben die Mathematiker bloß für ein Problem mit dem Alphabet? Und was hat Fermat damit zu tun?

Nun ist denkbar, dass sein kurzer Beweis auch denkbar einfach war und ihm beinahe belanglos erschien, sonst hätte er ihn sicherlich ausgebaut und veröffentlicht. Denkbar ist auch, dass er ihn über das pythagoreische Tripel erbracht hatte, sonst wäre er nicht so knapp ausgefallen. Aber was waren seine Denkvorgänge dabei? Wir versuchen sie zu rekonstruieren.

Betrachte man die Potenz einer Zahl höher als 2 als Multiplikation dieser Zahl oder ihres höheren Produktes mit dem Quadrat dieser Zahl, so dürfte es für den Gegenbeweis der Fermat´schen Vermutung genügen, die pythagoreische Formel so auszulegen, dass jede höhere Potenz der Kathetenlänge als Multiplikation dieser Länge oder ihres Produktes mit dem Quadrat der Kathete dargestellt wird.

Nur wissen wir von dem pythagoreischen Tripel, zum Beispiel – 3, 4, 5, dass seine Formel für alle weiteren Tripel gilt, die durch die Multiplikation jeder Zahl mit einem und demselben Faktor gebildet werden: vgl. 6, 8, 10; 9, 12, 15 etc.

Das heißt, für eine Potenz höher als “2”, kann diese Potenz nur für eine von drei Zahlen gelten:

(a × a²) + (b × a²) = c × a² (z.B. für a³)

Betrachten wir die Annahme der Fermat´schen Vermutung genauer, so kommen wir zum Ergebnis, dass sie nichts anderes besagt, außer dass diese in Bezug auf die pythagoreische Formel nur für den Fall gilt, wo b² = a², also 2a² = c², was nur bei den rechtwinkligen gleichschenkligen Dreiecken der Fall sein kann.

Nur konnten wir uns im vorigen Beitrag über die Knoten von Pythagoras überzeugen, dass die pythagoreische Formel ausgerechnet für diese Dreiecke nicht gilt oder man begnüge sich mit einer irrationalen Zahl.

Die Dinge können auch aus einem anderen Winkel betrachtet werden. Was heißt eigentlich potenzieren oder gar multiplizieren? Man nimmt eine Zahl so und so viele Male und wenn es genauso so viel Mal ist wie die Zahl selbst, dann heißt es Quadratpotenz. Nicht mehr und nicht weniger. Also man kann die Zahl mal mehr, mal weniger Male nehmen und ein bestimmtes Ergebnis erzielen.

Nun soll ein Multiplikationsprodukt als Summe von zwei anderen Multiplikationsprodukten verstanden werden. Zufälligerweise sind in einigen Fällen all diese Produkte das, was wir Quadratpotenzen nennen. Wenn wir uns durch die Übereinstimmung der Ergebnisse mit bestimmten geometrischen Gegebenheiten nicht blenden lassen, ist der Fall klar – das Zusammenfallen des einen Produktes mit der Summe anderer Produkte kann prinzipiell als nachvollziehbar betrachtet werden. Also müssen wir herausfinden, unter welchen Voraussetzungen die Fermat´sche Annahme als Summe von Multiplikationsprodukte wahr ist.

Zum Beispiel, bei den pythagoreischen Tripeln. Es stellt sich dabei heraus, dass dieses Zusammenfallen nicht nur die Summe der Quadrate betrifft, sondern auch anderer Produkte. Nun sind unter diesen Produkten keine weiteren potenzierten Werte zu finden. Stattdessen müssen die Zahlen des Tripels mit den Faktoren ausgestattet sein, die selbst ein pythagoreisches Tripel bilden.

Zum Beispiel, wenn Zahlen des einen Tripel mit den Faktoren multipliziert werden, die untereinander das gleiche pythagoreische Tripel bilden, so erhalten wir die biquadratische Gleichung nach dem Satz von Pythagoras: (3 x 3) + (4 x 4) = 5 x 5. Die Gleichung gilt auch für andere Faktoren, sofern sie das Vielfache der jeweiligen Zahlen dieses Trippel ausmachen:

(3 x 6)+(4 x 8) = (5 x 10), oder (9 x 3) + (12 x 4) = (5 x 15).

Also bilden die Multiplikationsfaktoren als Quadratpotenzen keine Ausnahme. Und das, was für die pythagoreischen Tripel gilt, ist mit Sicherheit auch für die anderen Tripelreihen gültig, die der biquadratischen Gleichung genügen. Nur besteht die Eigenart der Faktorentrippel darin, dass sie alle Produkte des Ausgangstrippel mit einem und demselben Faktor bilden: (3 x 6) + (4 x 8) = (5 x 10) = ((3x(3 x 2) + ((4 x (4 x 2) = 5 x (5 x 2) usw.

Legen wir diese Wertezusammensetzung in Termini der Fermat´schen Vermutung aus, so kommen wir zur folgenden Formel: (a² × f) + (b² × f) = c² × f.

Wenden wir uns der Fermat´schen Vermutung zu, so müssen wir jetzt lediglich beweisen, dass diese multiplizierten Werte ihrerseits Potenzen der jeweiligen Zahlen bilden. Nun, wissen wir von den Potenzwerten, dass sie sich auch zerlegen lassen, z.B.: 3³ = 3² × 3; 4³ = 4² × 4; 5² = 5² × 5, usw. Wie man sieht, sind alle Faktoren jeweiliger Tripelzahlen verschieden: f, f´, f´´.

Somit lässt sich die Formel der Fermat´schen Vermutung folgendermaßen darstellen:

aⁿ + bⁿ = cⁿ = (a² × f) + (b² × f´) = c × f´´.

Aber : f ≠ f´≠ f´´, deshalb ((a² × f) + (b²× f) = c²× f ≠ (a² x f) + (b² x f´) und folglich:

aⁿ + bⁿ ≠ (c² × f) ≠ cⁿ, wo cⁿ = c² × f´´.

Ein endgültiger und vor allem, formvollendeter Beweis ist das sicherlich nicht, denn es erfolgte kein Ausschluss unzähliger anderer Optionen, aber er ist kurz genug, um am Rand eines Manuskripts notiert zu werden. Nur haben wir es mit der Wissenschaft immer schwerer – mit jedem weiteren Jahr steigt die Anzahl der denkbaren Ausschlussoptionen. Drum belassen wir es dabei, als hätten Pythagoras oder Fermat selbst diesen Beweis aufgrund seiner Belanglosigkeit nicht aufgeschrieben.

Zum Schluss bleibt nur noch zu vermerken, dass dieser Gegenbeweis der Fermat´schen Vermutung wahr ist, sofern diese sich auf den Satz von Pythagoras bezieht. Sie ist also dann und nur dann nicht wahr, wenn der Satz von Pythagoras wahr ist. Und Pythagoras hat bekanntlich Recht. Und er hätte vermutlich den Gegenbeweis auch mit Stock und Strick zu erbringen vermocht und dabei ein paar Kongruenzsätze aufgestellt. Aber er kam leider nicht auf die Idee, diese Annahme zu überprüfen und so blieben seine nicht aufgestellten Kongruenzsätze der Nachwelt vorenthalten. Wie vieles andere mehr.

Diese und viele andere Lücken wurden erst in Laufe der Jahrhunderte geschlossen und nicht zuletzt dank der Fermat´schen Vermutung. Er hat sich zum Glück nicht geschämt, abwegige und auf den ersten Blick belanglose Fragen zu stellen. Denn sie werden erst dann belanglos, wenn sie beantwortet sind. Fermat zu widerlegen, ist ein Leichtes. Aber versuche mal, seinen Satz zu beweisen! Wir müssen uns immer fragen, egal wie abwegig die Fragestellung auch ist, denn solange keine Antwort vorliegt, ist keine Frage belanglos. Also, warum ist die Banane eigentlich krumm?

 

El Sid, Quetzdölsdorf 2015

Heide-Geschichten

Legenden und Märchen von der Dölauer Heide

oder – Dichten leicht gemacht!

Eine kurze Anleitung zum gemeinschaftlichen Dichten. Jedem Teilnehmer wird eine W-Frage zugewiesen, die er mit einem Satz beantworten soll, um selbst eine W-Frage an den anderen zu richten. Der Spielführer gibt den ersten Satz und die erste Frage vor und mit etwas gutem Willen läuft alles wie geschmiert. Selbstverständlich müssen die Themen vorgegeben oder gemeinschaftlich ausdiskutiert sein. Bei unserem Projekt “Bäume leben – Bäume erzählen Geschichten” waren die Themen durch die Bildmotive, der für das Projekt angefertigten Skulpturen vorbestimmt. Die Bildmotive knüpften an die topografischen Gegebenheiten der Dölauer Heide und deren teilweise vorhandene Toponymik: “Wolfsschlucht”, “Bischofswiese”, “Heide-See”, “Steinerne Jungfrau”, die Gaststätten “Waldkater”, “Knolls Hütte” etc., über die keine Überlieferungen verzeichnet waren. Die Projektteilnehmer – ausländische Studierende und deutsche Schulverweigerer haben sodann gemeinschaftlich den Statuen entsprechende Geschichten erdichtet: “Die Legenden von den Heide-Statuen” (nachzulesen unten).

W-Fragen: Wer? Was? Wie? Wann? Wo? Warum? Etc.

Wer? – Mit wem? Ohne wen?

(mögliche Antwort):

Mann/Frau/Mädchen/Junge/Jäger/Zauberer/Geist/Wolf/Waldkater/

Bischof/Bauer/König/Kaufmann/Mutter/Vater/Kind

 

Was? – Was ist/hat …? Was macht …? Was will(wollte)? Was geschieht/passiert?

Schloß/ Hütte/See/Hölle/Fels/Baum/Berg/Schlucht

arbeiten/Holz sammeln/sich verlieben/weinen/Angst haben/arm sein/sich freuen/fliehen(weglaufen)/sterben/zu Gott beten/sich verwandeln in einen Baum/in einen Fels

 

Wie? – Wie ist …? Wie gut/schlecht? Wie gern/ungern? Wie schnell/langsam

böse/listig/hinterhältig/glücklich/traurig/krank/jung/alt/arm/reich/

klug/dumm/kalt/heiß

 

Wann?

damals/ vor langer Zeit/ gleich/ danach/vorher, später/früher

 

Wo? – (abhängig von örtlichen Gegebenheiten)

 

Warum? – Wozu? Wofür? Weswegen?

(Wegen)aus Sorge/Liebe/Trauer/Freude/Pflicht/Rache

 

Zwecks Herstellung kausaler Zusammenhänge werden statt Fragen auch Konjunktionen weiter gereicht:

…, weil …

…, um zu …

 

Beispiel: “Legende von der Alten Heide”

(Wann?) – vor langer, langer Zeit …

(Was machte?) lebte …

(Wo?) im Wald bei Dölau …

(Wer?) eine alte Frau.

(Wie hieß sie?) Sie hieß Heide.

(Was hatte sie?) Sie hatte Haus und Hof/ sie hatte eine Tochter/sie hatte keinen Mann…

(Wie war sie?) Sie war alt und krank.

(Wie war die Tochter?) Die Tochter war hübsch und fleißig.

(Was machte die Tochter? Sie half der Mutter.

(Wie half sie der Mutter?) Sie kümmerte sich ums Haus/ sie sammelte Holz im Wald.

(Was passierte mir ihr?) Sie verwandelte sich in einen Fels.

(Warum?) Sie hat den Waldgeist verärgert.

(Wie?) – (wann?) Eines Tages …

(Was machte sie?) sie sammelte Holz und wollte einen Zweig am Baum abbrechen.

(Was machte der Baum?) Der Baum sprach…

(Was sagte der Baum?) Ich bin der Baumgeist. Lass mich in Ruhe.

(Was machte das Mädchen?) Das Mädchen hat den Zweig trotzdem abgebrochen…

(Warum?) …, weil sie das Holz brauchte.

(Was machte der Baumgeist?) Der Baumgeist beschwerte sich beim Waldgeist/erzählte das dem Waldgeist.

(Was machte der Waldgeist?) Er verwandelte das Mädchen in einen Felsen.

(Warum?) Zur Strafe…

(Wofür?) … damit Menschen die Bäume nicht verletzen.

 

Die Legenden von Heidestatuen

Der Baumgeist

Im Wald bei Dölau lebte vor langer Zeit ein Holzfäller.

Er fällte Bäume und bearbeitete das Holz. Dabei achtete er darauf, dass der Waldbestand geschont wird. Er war sehr geschickt in seinem Handwerk und alle bewunderten ihn dafür. Sein Ruf reichte bis in die Dübener Heide und der dortige Holzfäller wurde neidisch. Er forderte den Holzfäller von Dölau zum Wettstreit auf – wer die meisten Bäume fällen würde, sei der bessere. Der Holzfäller von Dölau stellte sich der Prüfung und machte seine Arbeit wie immer schnell und gut bis all die Bäume, die reif oder krank waren, gefällt waren. Aber sein Widersacher wollte nicht aufhören und fällte auch gesunde und junge Bäume. In Sorge um das Schicksal ihrer Zöglinge riefen die Bäume den Waldgeist zur Hilfe. Dieser eilte schnell herbei, verwandelte den gierigen Holzfäller aus der Dübener Heide in einen Baum und stattete ihn zur Strafe mit dem Geist eines von ihm gefällten Baumes aus. Er solle ewig leben aber in ständiger Angst vor der Axt. Seitdem steht er da und zittert bei jedem lauten Klopfen beim Anblick eines Menschen, denn er denkt, das wäre sein Tod.

Der Wolf

Vor langer Zeit lebte in der Wolfsschlucht der Dölauer Heide ein freundlicher Wolf. Die Schlucht war seit mehreren Generationen sein Stammrevier und war ihm bekannt wie seine Westentasche. Er verhielt sich darin immer als ein freundlicher und zuvorkommender Gastgeber und sollte sich jemand sich im Walde verirren, so half der Wolf ihm den Weg zu finden. Besonders gern hatte er die Dorfkinder, mit denen er gelegentlich Versteck spielte. Als aber die Kunde des grausamen Verbrechens eines anderen Wolfs an Rotkäppchen und seiner Großmutter Dölau erreichte, verbaten die Menschen ihren Kindern, die Wolfsschlucht zu betreten. Seitdem wartete der Wolf ewig auf seine einstigen Gespielen und wunderte sich, dass sie nicht kammen. Er stand so lange am Eingang der Schlucht, dass seine Beine sich im Boden verwurzelten und er sich in einen Baum verwandelte. Und jetzt, wo die Kinder wieder kommen, kann er nicht mehr mit ihnen spielen.

Der olle Knolle

Es lebte einst ein dicker Bauer genannt “olle Knolle” am Waldrand der Dölauer Heide. Er lebte allein in einer kleinen alten Hütte und er war einsam und krank. Als er noch jung war, verunglückte er in einem Steinbruch, wo er arbeitete. Seitdem hatte er keine Arbeit und keine Familie mehr, denn seine Frau war vor langer Zeit gestorben. Aus Kummer trank er immer mehr und wurde dabei immer ungehaltener. Eines Tages ging er von der Kneipe betrunken nach Hause und traf auf den Waldgeist. Als dieser ihm zuredete, er solle mit dem Trinken aufhören, schimpfte der olle Knolle ihn wüst aus und schlug auf ihn ein. Zur Strafe verwandelte ihn der Waldgeist in einen Baum. Seitdem steht er nüchtern wie ein Baum da und bereut seinen Frevel.

Die Seejungfrau

Im Heide-See am Rande der Dölauer Heide lebte einst eine hübsche und nette Seejungfrau. Das Mädchen wuchs als Einzelkind auf und konnte nur mit den stummen Fischen und trägen Krebsen spielen. Sie sehnte sich deshalb schon immer nach einer interessanteren Gesellschaft. Als sie erwachsen wurde beobachtete sie gern Menschen am Seeufer und wollte wissen, worüber sie sprachen und lachten. Eines Tages verliebte sie sich in einen hübschen und fröhlichen jungen Mann und traute sich ans Ufer. Der Mann verliebte sich aber bald in eine reiche Bäuerin und verließ die Seejungfrau. Sie konnte nicht mehr zurück in den See und auf der Erde hielt sie auch nichts mehr. So lernte sie, dass Menschen nicht nur lachen, sondern auch weinen können, vor allem wenn sie Seejungfrauen und allein sind.

Der Waldgeist hatte Mitleid mit ihr und verwandelte sie zum Trost in einen Baum, damit sie sich mit anderen Bäumen anfreunden konnte. Sie blieb dennoch trostlos und so steht sie seitdem am Waldrand und blickt voller Sehnsucht auf den See ihrer Jugend zurück.

Hunne, der Hüne

Als das große Heer von Hunnenkönig Attila eine Niederlage erlitt, beschlossen die Krieger dem König einen Boten zu schicken, um Hilfe einzufordern. Sie schickten zu ihm einen jungen Krieger. Dieser war aber unerfahren und so verirrte er sich auf der langen Reise.

So kam er nach mehreren Jahren in der Dölauer Heide an. Er war mit der Zeit alt und krank geworden und sein König und alle seinen Kameraden waren bereits tot. Er fühlte sich schwach und einsam als ihm der Waldgeist begegnete.

“Ich fürchte mich vor dem Tod” – sagte der Krieger zu ihm. “Aber noch mehr fürchte ich mich vor der Einsamkeit, sollte ich noch lang leben, denn ich habe keine Familie und alle meine Kameraden sind tot”.

“Du sollst leben”, sagte der Waldgeist. “Aber du wirst nicht einsam sein. Denn du wirst leben als ein Baum zusammen mit den anderen Bäumen im Wald. Sie sind deine neue Familie und du sollst sie beschützen.” Seitdem wacht er über den Wald und verschreckt alle Feinde durch sein furchteinflößendes Aussehen.

 

Die alte Heide

Vor langer, langer Zeit lebte im Wald bei Dölau eine alte Frau.

Sie hieß Heide. Sie hatte Haus und Hof und sie hatte eine Tochter, aber keinen Mann, denn er war vor langer Zeit gestorben.

Sie war alt und krank, die Tochter dagegen war hübsch und fleißig und half der Mutter.

Sie kümmerte sich ums Haus und sammelte Holz im Wald.

Aber sie wurde in einen Felsen verwandelt, weil sie den Waldgeist verärgert hatte. So wurde sie zur “Steinernen Jungfrau”.

Eines Tages sammelte sie das Holz und wollte einen Zweig am Baum abbrechen. Da sprach der Baum: “Ich bin der Baumgeist. Lass mich in Ruhe.” Das Mädchen brach den Zweig trotzdem, weil sie das Holz brauchte.

Der Baumgeist beschwerte sich beim Waldgeist und dieser verwandelte das Mädchen zur Strafe in einen Felsen damit sie keinen Baum mehr anrühren konnte.

Als die alte Heide sie fand, weinte sie vor Gram und Trauer an dieser Stelle so lange, dass sie mit dem Waldboden verwuchs und sich in einen Baum verwandelte.

 

Die Waldjungfrau

Vor langer, langer Zeit lebte im Wald bei Dölau eine hübsche junge Frau. Ihre Eltern waren längst gestorben und sie kümmerte sich allein um Haus und Hof.

Eines Tages sammelte sie das Holz im Wald und wurde vom Baumgeist gesehen, der sich gleich in das Mädchen verliebte. Er umschlang sie mit seinen Zweigen, aber sie entriss sich seinen Umarmungen und lief ihm davon. Vor Liebeskummer verwelkten die Blätter vom Baumgeist und er war dabei zu verdorren. So entschied sich der Waldgeist ihm zu helfen. Er verwandelte das Mädchen in einen Baum, damit sie dem Baumgeist nicht mehr entlaufen konnte. Aber seit sie mit dem Boden verwachsen war, konnte sie sich dem Baumgeist auch nicht nähren. Und so stehen sie im Wald getrennt auf die Ewigkeit voneinander. Sie können nicht mehr voneinander weglaufen, aber auch nicht zueinander finden.

 

Der Waldkater

Der Großvater vom Waldkater in der Heide war der gestiefelte Kater und er lebte in Frankreich. Eines Tages heiratete er eine schmucke Katze aus Dölau.

Als er starb beschloss die Großmutter zusammen mit den Kindern und Enkeln zurück nach Deutschland zu gehen und die Verwandten zu besuchen. Als sie die Heide erreichten, nahmen sie den kürzeren Weg durch die Wolfsschlucht. Da wurden sie vom Wolf überrascht und liefen weg. Nur der kleine Kater verirrte sich dabei und versteckte sich in einer Baumhöhle.

Dort fand ihn der Waldgeist. Als er hörte, wie unglücklich und einsam das kleine Kätzchen war, machte er ihn zum Baum. So fand der kleine Kater seine neue Familie und wacht seitdem über sein Revier am Eingang in die Heide.

 

Der Bischof

Auf einer Wiese in der Dölauer Heide befand sich ein heidnischer Kultplatz. Menschen verehrten Bäume und Geister. Eines Tages hörte der Bischof in der Stadt von diesem Brauch und beschloss, die Geister aus dem Wald zu vertreiben. Er ging in die Heide, fand die Wiese und fing an, Gebete zu sprechen, Bäume und Wiese zu bekreuzigen und mit geweihtem Wasser zu beträufeln. Vor Wut schlug er mit dem Kreuz zu heftig auf die Bäume, so dass sein Kreuz zerbrach. Als er das sah, befahl er sämtliche Bäume zu fällen.

Aber als die Axt den Baum berührte, erschien der Waldgeist und verwandelte den Bischof in einen Baum, damit er den Schmerz des Baumes am eigenen Leib erfahren konnte. Seitdem steht er in der Heide und fürchtet sich jedes Mal, wenn ein Waldarbeiter seine Axt schwingt.

 

Der Waldgeist

In einer alten Eiche inmitten der Dölauer Heide lebte seit Menschengedenken ein Waldgeist. Er war alt, so dass aus seinen Augenbrauen bereits Baumpilze wuchsen und furchterregend anzusehen – er hatte einen Rehhufen und eine Habichtkralle als Beine, war behaart wir ein Wolf und statt eines Armes besaß er eine Bärenpranke. Nachts verließ er seine Baumgestalt und ging durch den Wald, denn seine Aufgabe war, sich um den Wald zu kümmern und ihn zu beschützen. Er verarztete kranke Bäume und Tiere, spendete den Alten Trost, half den Jungen und bestrafte die Feinde des Waldes. Seit immer mehr Menschen in den Wald gehen, zeigt er sich immer seltener, um sie nicht zu erschrecken und weil Förster einen Teil seiner Aufgaben übernommen haben. Aber mit dem Gedanken an die Rente spielt er noch nicht. Denn es kann jederzeit passieren, dass der Wald ihn wieder zur Hilfe ruft. Dann eilt er herbei und rettet den Wald.


 

Interslavica

Zu Grundlagen des interlinguistischen Projektes “Interslavica”

I. Ziele und Hintergründe des Sprachprojektes

Das Projekt “Interslavica” befasst sich mit der Herstellung einer künstlichen slawischen Sprache für alltägliche Konversationsbereiche. Eine solche Sprache soll die internationale Kommunikation sowohl zwischen den Vertretern slawischer Völker und den Trägern nicht-slawischer Sprachen, als auch den Angehörigen einzelner slawischer Völker untereinander erleichtern. Die wirtschaftliche, kulturelle und politische Notwendigkeit eines solchen Kommunikationsmittels ist offensichtlich. Gleichzeitig betritt eine interslawische Sprache nicht das “freie Feld”, sondern wird als kodifizierte Variante der gegenwärtigen Sprachmischungen, sie in den Sphären des intensiven ost-westeuropäischen Kommunikationsaustausches, wie Handel, Tourismus, Arbeitskraftaustausch bzw. grenzüberschreitende Produktion, regulieren und gar ersetzen können. Linguodidaktisch kann diese Sprache das Basiswissen für das Erlernen der natürlichen slawischen Sprachen vermitteln und dabei selbst ausreichend für diverse Kommunikationsbelange bleiben.

Der Grundgedanke der moderneren interlinguistischen Projekte der Plansprachen (vgl. Esperanto) wird hier erneut aufgefasst und zwar unter der Berücksichtigung der natürlichen Prozesse der Entstehung und Entwicklung regionale Koine-Varianten nicht zuletzt nach dem geolinguistishen Vorbild der Kreol- bzw. Pigeon-Sprachen. Auf der Basis einer künstlich konstruierten Pigeon-Variante sollte es möglich sein, eine allgemein für alle potenziellen Träger verständliche und leicht erlernbare Sprache zu entwickeln. Unser Projekt soll dabei einerseits die Mängel der existierenden Plansprachen berücksichtigen und vermeiden und andererseits, die bestehenden grammatischen, syntaktischen sowie lexikalischen “Unverträglichkeiten” einzelner slawischen Sprachen untereinander ausgleichen.

So war das Prinzip der allgemeinen Verständlichkeit bei den Vertretern unterschiedlicher Sprachfamilien kaum erreichbar: das slawisch-romanisch-germanische Pigeon in Zagreb oder in Warschau um die Jahrtausendwende, das die Entwicklung von Esperanto inspirierte, hatte bereits die Gemeinsamkeiten im alltäglichen Gebrauchswortschatz ausgefiltert und die Grammatik notwendiger Maßen darauf angepasst. Ein weiterer Überbau in Gestalt der Kunstsprache schien angesichts der damals verbreiteten sprachphilosophischen und linguistischen Prämissen möglich. Nur wurde dabei das natürlich entstandene Koine-Gebilde in der neuen Kunstsprache bis zu Unkenntlichkeit reduziert und es bedürfte neuer Lernanstrengungen, die man lieber auch zur besseren Aneignung einer der gebräuchlichen natürlichen Sprachen mit größerem Nutzen für Pigeon-Träger einsetzen sollte. Alles in einem, die Zagreber blieben bei ihren Kauderwelsch und bei Esperanto setzte sich ein eigener Evolutionsprozess in Gang, der die Notwendigkeit einer permanenten soziolinguistischen Kontrolle ins Leben rief.

Nicht zuletzt war dieser Ablehnung durch das allgemeine Problem der Plansprachen und ihrer Erlernbarkeit, nämlich durch die grammatische Unvereinbarkeit der künstlichen Sprache und ihrer natürlichen Quellsprachen dar.

Eine vereinfachte, verglichen auch mit den anderen Plansprachen, Grammatik von Esperanto mag vielleicht Sprachwissenschaftler begeistern, verträgt sich jedoch schwer mit den muttersprachlichen grammatischen Stereotypen ihrer potenziellen Träger.

Die Grundlage einer für alle annehmbaren Revision der Grammatik unterschiedlicher Sprachfamilien bildete die auch damals vorherrschende Vorstellung über die angeborenen Denkkategorien der Universalgrammatik, wobei man empirisch vor allem vom synthetischen Aufbau und von dem, was in den zu vereinenden Sprachen an grammatischen Mitteln vorhanden war, ausging.

Geht man dagegen dabei nicht bloß theoretisch, sondern pragmatisch vor, dann lässt sich die grammatische Unverträglichkeit leicht beheben, wenn das, was in den verschiedenen Sprachen unterschiedlich ist, einfach abgeschafft wird. Die kommunikative Funktionsfähigkeit einer solchen Grammatik wird mit analytischen Mitteln aufrechterhalten bleiben. Die Umstellung auf Analytismus fällt dem Sprachträger leicht, da jede Sprache solche Mittel zu Verfügung hat und sie werden nach Bedarf, wie etwa im Gespräch mit einem Ausländer – also “mit Händen und Füssen”, quasi auf deiktischem Niveau “rebootet”, eingesetzt. Auch die Träger der analytischen Muttersprachen werden in diesem Fall durch die Plansprache nicht mehrfach benachteiligt, da für sie das Erlernen und Befolgen der Formbildungsparadigmen, welcher Komplexität auch immer, eine Zumutung darstellt.

So ist es auch bei der Konstruierung einer allgemein verständlichen slawischen Sprache möglich, auf die Mittel der analytischen Grammatik zurückgreifen, die sich bereits auf der Grundlage des griechisch-slawischen Koine mit wo möglich illyrischem Substrat in der makedonischen und bulgarischen Sprache entwickelt hatten.

Die mögliche Zusammensetzung des Wortschatzes einer interslawischen Plansprache weist auch einige Probleme auf. Sie sind jedoch leichter zu bewältigen, als die Gestaltung des Lexikons auf der Basis des Wortstammthesaurus einer dritten, zwar historisch verwandten, jedoch für Rezipienten aus unterschiedlichen Sprachkreisen morphologisch ungleich transparenten Sprache (vgl. Lateineinfluss in Esperanto). Der Grundgedanke des Vorhabens von “Vater der Esperanto” L.L. Zamenhof, die Verständlichkeit des Wortschatzes durch transparente Morphologie und für alle Rezepienten leicht erschließbare Wortstämme zu erreichen, wird aber auch in unserem Projekt verfolgt.

Ein bestimmter Kernwortschatz wird auch zugrunde des interslawischen Lexikons gelegt. Allerdings gehen wir hier nicht von der theoretischen Annahme der Wort-bzw. Formverwandschaft aus, sondern von einem empirisch ermittelten Erkennbarkeitswert der ausgewählten Lexeme unter Berücksichtigung ihrer stilistischen Besonderheiten, der durch den Diskurs nachgewiesenen Fähigkeit zur okkasionalen semantischen Derivation, der Häufigkeit ihrer Verwendung in bestimmten Bedeutungen und den funktionalen Sphären. Zur Musterquelle des Wortschatzes wird pauschal keine der Sprachen erklärt, auch nicht das Alt- bzw. Kirchenslawische.

Im Wesentlichen setzt sich die Lexik des Kernwortschatzes stellvertretend für drei slawische Sprachgruppen aus dem Tschechischen, Makedonischen und Russischen zusammen. Bei eindeutiger Fremdartigkeit oder Unbekanntheit der ausgewählten Lexeme für die übrigen slawischen Sprachen werden andere Stellvertreter-Sprachen als Lexikquellen genutzt, bis eine für alle annehmbare Variante gefunden wird. Ein ähnliches Herangehen zeichnet die Lexikauswahl der “allslawischen Sprache” von Krizanic (“Politika”, 1663-1666) aus.

Allerdings sieht das Projekt der interslawischen Sprache nicht vor, den lexikalischen Umfang der Sprache zu begrenzen. Ein solcher normativer Eingriff würde nicht nur Erlernbarkeit der Sprache mindern, sondern auch die Wege der künftigen Evolution voraus bestimmen.

Statt dessen wird ein “konsensfähiger” lexikalischer Kern angeboten, dessen transparente Morphologie die künftige Entwicklung des Sprache nicht behindert und zugleich im Einklang mit dem Wortschatz der Quellsprachen steht, so dass aus diesen weitere Lexik geschöpft werden kann, sofern sie nicht im Widerspruch zum besagten Kern steht.

Im Unterschied zu Esperanto wird auch der Anteil der Sprachentlehnungen nicht quotiert. Das Gesamtlexikon der interslawischen Sprache stellt somit generell das gesamte Lexikon aller slawischen Sprachen. So, wie die Relikte einer alten Sprache, die Dialektismen und Lehnwörter im natürlichen Lexikon als stilistische Variante der Normsprache auftreten, so wird die eigene Lexik jeder slawischen Sprache als stylistisch markierte lokale Variante des Kernwortschatzes betrachtet. So könnten die politisch, historisch und kulturell bedingten Hemmnisse beim Erlernen und Anwenden der interslawischen Sprache umgangen werden.

II. Zum Aufbau des Kernwortschatzes der interslawischen Sprache

Das wichtigste Anliegen des interslawischen Sprachprojektes besteht in der Entwicklung einer im slawischen Sprachbereich allgemein verständlichen und leicht erlernbaren Sprache mit transparenter Morphologie des Wortschatzes und möglichst voller Ausschöpfung des lexikalisch-semantischen sowie des idiomatischen Reichtums der slawischen Sprachen. Bei der Zusammenstellung des Wortschatzes besteht das oberste Gebot darin, die Lexik aller slawischen Sprachen gleichberechtigt zu behandeln. Das ist nur dann möglich, wenn diese Lexik als lokal oder anderweitig stilistisch gefärbte Variante der Benennung eines Begriffs in Erscheinung treten kann, wobei eine weitere sich auf der Basis stilistischer Differenzierung im Diskurs entwickelnde semantische Derivation künftig die Selektion des Wortschatzes steuern soll.

Aus diesem Grunde bedarf es der Entwicklung eines morphologisch transparenten, vom Klangbild her verständlichen und aus den Erfahrungen der eigenen Sprachen erkennbaren stilistisch neutralen Kernwortschatzes. Es ist weiterhin immens wichtig, die semantischen Strukturen des “Weltbildes” jeder Sprache, die durch die Lexikvielfalt vertreten sind, im Wesentlichen zu erhalten. Deshalb werden in den Kernwortschatz der interslawischen Sprache die Benennungen der Begriffe übernommen, die durch die eine oder andere slawische Sprache lexikalisch nicht erfasst sind.

Unter dem Kernwortschatz der interslawischen Sprache verstehen wir den Wortschatzteil, der die für die Kommunikation notwendigen Begriffe der alltäglichen Kommunikationsbereiche unter voller Ausschöpfung der Möglichkeiten der analytischen Syntax inhaltlich voll erfassen kann und dabei stilistisch neutral bleibt. Der Kernwortschatz natürlicher Sprachen wird empirisch ermittelt und auf der Basis einer ideographischen Gliederung des gesamten Lexikons aufgebaut. Dabei wird aus der ideographischen Einteilung eine erhebliche Menge von Begriffen, die gewöhnlich über die grammatische Semantik vermittelt werden, ausgeklammert. Aus diesem und den anderen Gründen ist es schwer, den Begriff des Kernwortschatzes für eine natürliche Sprache präzise genug zu definieren, damit die praktische Zusammenstellung des Wortschatzes verwertbare lexikographische und linguodidaktische Ergebnisse versprechen kann. Sichtbare Erfolge werden lediglich im fachsprachlichen Bereich erzielt.

Unsere Definition stellt aber keine Vereinfachung der theoretischen Grundsätze dar. Die obige Auffassung des Kernwortschatzes beruht auf den Voraussetzungen einer künstlichen, streng analytischen Grammatik und eines immens erweiterten Wortschatzes, der den gegenwärtigen slawischen Pigeon-Varianten entnommen wurde.

Bei der Konstruierung der formalen Zusammensetzung der Lexeme des Kernwortschatzes werden folgende Prinzipien befolgt:

1. Das Wort wird im Wesentlichen nur durch seinen Wortstamm vertreten, der in der Lexik mehrer slavischer Sprachen (Mindestvoraussetzung in zwei Sprachgruppen – west-und südslavisch, oder ost-und westslavisch) in dieser oder etwas abweichender Bedeutung bekannt ist. Auch stilistisch gefärbte Varianten werden übernommen, vorausgesetzt sie sind durch die Literatur dieser Sprache vertreten.

2. Diese Wortstämme werden auch dann genutzt, wenn keine Übereinstimmung der Wortarten zwischen dem zu bildenden und dem existierenden Wort vorliegt (vgl. “prohaze” – inter.”spazierengehen” aus “prohazka” – tschech. “Spaziergang” und “прохаживаться”- russ. “flanieren”).

3. Bei der Gestaltung des Stammauslautes wird ein besonderer Wert auf die Erkennbarkeit des morphonematischen Musters der formalen Struktur des Wortes gelegt. Da aufgrund des Analytismus der interslawischen Sprache die finiten Formante keine grammatische Bedeutung mehr tragen müssen, sollen die Stamm/Wortauslaute die Form erhalten, die in den Formbildungsparadigmen aller slawischen Sprachen bekannt ist. Dadurch kann die Erkennbarkeit des Stamm-Morphes gewährt und die Semantik des konstruierten Wortes leichter gedeutet werden. Auch die variable Ausgestaltung der Allomorphen in der Wortbildung, falls sie neben dem regulären Auftreten in einer Sprache wenigstens sporadisch in einer anderen Sprache erscheinen, ist leicht erkennbar und wird als Gestaltungmittel der Wortform im Kernwortschatz genutzt (vgl. den positionsbedingten Konsonantenwechsel “k, g, h” zu “c, z, s”). Das erhöht die Flexibilität in der Auswahl der Lexik und verhindert eine mögliche Benachteiligung einzelner Sprachen.

4. Dem Zwecke der Erkennbarkeit soll auch das phonetisch-prosodische Muster dienen, wobei die Möglichkeiten der positionsbedingten Reduktion einzelner Laute voll ausgenutzt werden sollen, um die Erkennbarkeit des morphologischen Formanten zu steigern (vgl. russ. “ot-” und “od-“interslav.).

Gleichzeitig soll die Akzentvariante gefunden werden, die entweder in den Formbildungsparadigmen mehrerer Sprachen angewendet oder durch die Prosodik der Wortbildungsderivate vertreten wird.

Hier ist die kleine Auswahl einiger Gruppen des Kernwortschatzes:

 

Verben                Substantive            Adverbien/Adjektive

1. Gruppe (Tun)                                

pisa- schreiben        pismo- Brief, Schriftstück    

ceta- lesen            kniha-Buch            knizno/literaturno

scita-zählen, rechnen        cislo-Zahl            veliko – groß

                slovo/jasyk-Sprache, Wort    rodno- vertraut, heimisch, eigen

 

                                3.Gruppe (Qualität)

hleda- sehen            razhovor/rasmolva-Gespräch    inako- anders

slusa- hören            vest/molva- Nachricht        dobro/spravno- gut

                izhled- Ausblick, Aussicht    kraso – schön

 

molvi (hovora)-sprechen    2. Gruppe (Ding)        mnoho- viel

skaze – sagen            hrad,mestecko -Stadt, Dorf    malo – wenig, klein

razmolvi – sich unterhalten    strana – Land, Staat        dost – genug

                dom – Haus            velmi – sehr

prose – bitten            mesto – Platz, Ort        plos – schlecht    

moli – bitten, anflehen        ulica, draha- Straße, Weg    zlo – böse

odkaze-ablehnen, verzichten pokoj – Zimmer, Friede    rad – froh

sprose – fragen         vrata – Tür, Tor        tuzno – traurig

odpoveda – antworten        okno – Fenster            borzo, spesno – schnell

znate – kennen, wissen     clovek- Mensch        nesporo, pomalu – langsam

pomenovate – vergessen    muz- Mann            mudro – klug

zapomenate – sich merken    zena-Frau            chitro – schlau

                dete-Kind            hrubo – grob

rozume – verstehen        malec/chlapec- Junge        nezno, laskavo – Zart

mysle – denken            devce-Mädchen        silno, statno- stark, kräftig

imenue – heißen        deva- Fräulein            prijatno, prijemno-angenehm

smeja- lachen            sum- Wald            protivno,odvratno-wiederwärtig

ihra – spielen            ezero- See, Teich        blizko – nah

place – weinen            reka- Fluß            daleko – weit

biti – sein (Infinitiv)        more- Meer            dluho – lang

zive – leben, wohnen        pole- Feld            davno – längst

rodi – gebären            drevo- Baum            potrebno-notwendig

rosti – wachsen            cvet- Blume, Farbe        mozno- möglich

umre – sterben            trava- Gras, Kraut        uz – schon

stati – werden            list- Blatt            joste – noch

stoi – stehen            hora/planina- Berg        casto – oft

sedi – sitzen, sich setzen    dol – Tal            redko – selten

lezi – liegen            voda- Wasser            celo – ganz, alles

                zeme,svet – Erde, Welt

 

4. Gruppe (Person)

ide – gehen            ime – Name

jede – fahren            rodina- Familie, Verwandtschaft                

leti – fliegen            drug- Freund

plave    – schwimmen, fahren    brat- Bruder

nese/nose- bringen, holen

veze/voze- transportieren    sestra-Schwester

 

Einige weitere Beispiele:

nahodi sa – sich befinden    voz – Zug

                auto- Auto

ima – haben, vohanden sein    magazin/obchod/stokovna- Geschäft

nema    – nicht haben, sein    restoracia/kafe/bufe- Gastätte

                skola – Schule

hovati    – verstecken        stadion – Stadion

iskati/bara – suchen        uprava – Behörde

najiti – finden            sluzba – Dienst

                jedlo/jeda/jidlo/jadenje- Essen

jeste – essen            chleb – Brot

piti – trinken            meso – Fleisch

                maslo – Butter

chte/vola-wollen,möchten    caj – Tee

ceka    – warten        pomoc – Hilfe

streca    – treffen        nemoc/bolest – Krankheit

dade    – geben        trebnost – Notwendigkeit

vzemete/brati – nehmen    moznost – Möglichkeit, Gelegenheit        

podava – erhalten        bol – Schmerz

umore – müde werden        radost – Freude

poci/spati – schlafen        vec – Sache

stavati – aufstehen,- stellen    del – Teil

treba – brauchen, müssen

moze – können, dürfen

 

III. Schrift, Syntax und Grammatik

Die Wahl der Schrift setzt die Einheitlichkeit des phonologischen Systems voraus. Auch hier soll dem Zwecke der Erkennbarkeit der Lexik gedient werden. So scheint es unangebracht, die Lexik des Kernwortschatzes im exotischen phonetischen Gewand einer der Quellsprachen erscheinen zu lassen. Der Sache der allgemeinen Verständlichkeit ist wenig damit gedient, wenn “reka” als “řeka” , “kamen” als “камень´”, “mylo” als “myło” geschrieben werden, oder wenn diverse südslawische Schriftzeichen das Alphabet beherrschen werden. Der Kernwortschatz sollte frei von Einzigartigkeiten im Klang und in der Schrift gehalten werden. Das würde auch die Voraussetzung schaffen, die Schrift nach dem Vorbild einiger slawischer Sprachen mit dem lateinischen Alphabet abzustimmen. Die Hintergründe der Erfindung der kyrillischen Schrift werden dadurch gänzlich entfallen und die Lesbarkeit dieser Sprache für die Westeuropäer wird sich günstig auf die Erlernbarkeit und die Erweiterung des Kommunikationskreises auswirken. Zu überlegen wäre jedoch die Gestaltung der Sonderschriftzeichen des Alphabets für die lokalen lexikalischen Varianten aus verschiedenen slawischen Sprachen. Die Entscheidung darüber bedarf ausführlicher Diskussionen und sollte künftig dem Interessentenkreis überlassen werden.

Die Grammatik der interslawischen Sprache wird den Bedürfnissen der durch und durch analytischen Satzgestaltung angepasst. In erster Linie wird die Verdopplung oder Vervielfachung der üblicherweise auf grammatischem Wege vermittelten semantischen Komponenten vermieden. So wird Genus als grammatische Kategorie abgeschafft, schließlich kommt man im Präsens auch ohne Flexie-Markierung des Verbs aus. Auch die Übereinstimmung des Adjektivs mit dem Substantiv im Genus wird entfallen. Die wenigen Fälle mit Genus-Sexus-Kontroverse bedürfen keiner grammatischen Lösung, da hier auf der Basis des durch die lexikalische Bedeutung vermittelten Wissens über das natürliche Geschlecht sprachlich repräsentierter Personen entschieden werden kann. Die jeweiligen Personalpronomina als Fürwörter für Repräsentanten des natürlichen Geschlechts werden erhalten bleiben. Sie können jetzt als Wortbildungsderivate angesehen werden. Außerdem sind sie in jeder slawischen Sprache vertreten. Dieser Grund spricht auch für Erhaltung des Personenparadigmas bei den Personalpronomina, wobei sich die Übereinstimmung der Person des Subjekts mit der Form des Prädikats erübrigt.

Damit entfallen die Gründe für die Konjugation der Verben und die damit verbundene Vielfalt der Konjugationsklassen und des Stammauslautenwechsels.

Die Zeitformen der Verben können jedoch nach dem allgemein üblichen slawischen Paradigmenmuster weiterhin gebildet werden: “-l” -Suffix für das Präteritum, oder analytisch mit dem Hilfsverb “bude” – für Futur.

Einige in den modernen Sprachen verbliebene archaische Zeitformen des Verbs (wie Aorist, Perfekt u.a.) erübrigen sich, da die durch sie getragenen Bedeutungskomponenten problemlos durch den Kontext vermittelt werden können.

Dasselbe betrifft die Kategorie des Aspekts, schon weil die Wahl der Aspektformen im Russischen im hohen Maße von den jeweiligen Kontexterweiterungen abhängt, so dass die Aspektbedeutung bereits durch die Auswahl dieser oder jener notwendigen Kontexterweiterung zum Ausdruck kommt. So steuert allein die lexikalisch-semantische Verbindbarkeit den Einsatz des Aspekts, wodurch die Ausstattung des Verbs mit einem Aspektsuffix oder einem Präfix, wenn sie keine zusätzlichen inhaltlichen Komponenten tragen, eine doppelte formale Markierung darstellt.

Die Gestaltung der Verbindung zwischen dem konjugierten und dem Infinitivverb wird durch die Einführung des Partikels “da” vor dem einstigen Infinitivteil ermöglicht.

Der Konjunktiv des Verbs wird wie bei allen slawischen Sprachen üblich mit dem Konjunktivpartikel gebildet. Allerdings soll die Notwendigkeit der Konjugation des Verbs im Präteritum hier entfallen.

Der Imperativ stimmt formal mit dem Infinitiv überein, wird jedoch mit einem anderen Partikel “ajde” ausgestattet.

Die Kategorie der Zahl soll im Prinzip erhalten bleiben, da das “Weltbild” der slawischen wie auch der anderen Sprachen in der Welt sowohl die einzelnen Objekte, als auch Mengen von gleichen Objekten unterscheidet. Mit anderen Worten, gibt es hier anders als beim Geschlecht eine referentielle Übereinstimmung zwischen der grammatischen Zahl und der Anzahl der realen Objekte. Außerdem sind die Pluralflexien in den slawischen Sprachen gleich oder ähnlich ausgestattet und treten regulär in Erscheinung. Überflüssig erscheint hier nur die Verdopplung der formalen Mittel zur Aktualisierung der Bedeutung vom Plural. Deshalb soll die “-i”-Flexie nur bei den Substantiven und ihren Fürwörtern verwendet werden und nur in den ellyptischen Konstruktionen darf die Endung auf das Attribut übertragen werden.

Semantische Unterschiede zwischen verschiedenen Attributsarten – Adverb, Adjektiv, Partizip, Adverbialpartizip, Kurzformen der Adjektive und der Partizipien im Prädikatnomen sollen nicht morphologisch ausgewiesen, sondern nur durch den Kontext aktualisiert werden. Somit sollen sie als Wortgruppen gänzlich entfallen. Dafür werden diesen Lexemen ihre morphologischen kategorialen Merkmale entfernt und die Stammauslaute im gewissen Umfang unifiziert, damit die Übernahme von Pluralendungen in den Ellypsen möglich sein kann.

Die Kategorie des Kasus erweist sich in allen analytischen Sprachen als entbehrlich. Dafür bedarf es nicht mal einer festen Wortstellung im Satz. In Ansätzen ist der Analytismus in allen slawischen Sprachen, vor allem im umgangssprachlichen Bereich vertreten. Die makedonische und bulgarische Sprachen entwickelten auch spezifische analytische Mittel zur Gestaltung der propositionalen Syntax. Nach ihrem Vorbild wird auch in der interslawischen Sprache die Subjekt-Objekt-Antinomie wie folgt gelöst:

a) Das Objekt wird durch das Prädikat eingeleitet – Subj. —> Präd. —> Obj.

Hier bestimmt die Reihenfolge des Diskurses die Rollenverteilung zwischen dem Subjekt und dem Objekt. Sollte das Objekt in Folge einer syntaktischen Inversion seinen Platz im Satz wechseln “я пишу письмо”, so wird ihm das Objektglied vorgesetzt (vgl.”go pismo pisa ja”-interslav.)

b) Das Objekt wird durch die Präposition eingeleitet. Das Objekt darf demnach sowohl nach als auch vor dem Prädikat ohne Objektglied erscheinen: “ja jede na auto – na auto jede ja!” – intersl.

c) Das Prädikat ist zweistellig und verlangt sowohl das indirekte, als auch das direkte Objekt. Das direkte Objekt wird mit dem propositiven Partikel “go” versehen, sofern das direkte Objekt mit keiner Präposition ausgestattet ist:”ja pisa on go pismo – ja pisa go pismo on” – interslav.

d) Sind beide Objekte mit Präpositionen ausgestattet, wird beim direkten Objekt kein Partikel “go” eingesetzt, da die Verhältnisse aufgrund der unterschiedlichen durch die Pröpositionen markierten semantischen Valenz des Verbes geklärt sind: “ja jede k on na auto”- interslav.

c) Besteht aufgrund der syntaktischen Inversion eine Konkurrenz zwischen dem indirekten Objekt und dem Subjekt, wird dem Objekt das indirekte Objektglied “mu” vorgesetzt: “go student pisa ucitel” oder “go pismo mu student pisa ucitel”- intersl.

Der Reduktion des Objektglieds auf einen einzigen Partikel (vgl. 6 Formen des Objektgliedes im Makedonischen) und die Abschaffung der doppelten Markierung durch die postpositiven Formanten, wie im Bulgarischen und Makedonischen erleichtert die syntaktische Gestaltung des Diskurses, ohne gravierende sinnentstellende Fehler zu verursachen. Die Möglichkeiten einer syntaktischen Inversion oder der Ellypsen aufgrund der Markierungsopposition “Fehlen/Vorhanden” vom Objektglied bleiben weiterhin erhalten.

Das grammatische System der interslawischen Sprache und einige Elemente der synsemantischen Ebene lassen sich wie folgt zusammenfassen:

Personalpronomina    Demonstrativpron.    Interrogativ/Relativpron.

ja        – my    to    – te        kto – cto

ty        – vy    (ono-oni)        kak – tak (to)

on, ona, ono, – oni                ci – jej

                        koj – toj

Determin/Negativpron.    Indefinitpronomina

vse     – nikto/nicto        nekto, necto

kazdy – nikoj        nekoj

Verb                        Adverb/Adjektiv

Präsens    Prät.    Futur            

                        zde – tam – kde

se (= sein)    bi-l    bude            kade – tamu; odkade – odtamu

ide (gehen)    ide-l    bude ide        koga – sega – toga (potom, dnes, zitra, vcera)

jede (fahren)                    vsega – nikoga

jeste (essen)                    kolku – tolku (mnoho, malo, dost)

vole (wünschen, wollen)            Komparativ: po-mnoho

chte (wollen)                    Superlativ: naj – mnoho

dade (geben)

ima (haben)

sedi (sitzen)                    Präposition

stoi (stehen)                    u=pri, k-od-iz(o), do, s(o)- bez, v, na

molvi (sprechen)                nad- pod, o, za/pro

skaze (sagen)                    Infinitiv

hleda (sehen)                    Verb + da + Verb (zusammengesetztes Prädikat)

poveli (befehlen)                (auch in Bedeutung “um zu..”)

povole (erlauben)                Konjunktionen    

spolni (erfüllen)                jestli, potomu, potomu cto

                        i, a, ali, ili/nebo

 

Imperativ:

die Singularform des Imperativs entspricht der Präsensform des Verbs und wird mit Hilfe des Partikels “´ajde” gebildet.

        (vgl.”Ajde pisa!”- schreibe!; “Ajde vy pisa!” – schreibt!).

Konjuktiv:

Verb + by (Inversion möglich)

        “on pisa by – on by pisa”.

 

Objektglied

Beim gleichzeitigen Auftreten des direkten und indirekten Objektes am Prädikat (Vgl.”Er gab dem Jungen ein Buch”) wird dem zweiten (direkten) Objekt der Partikel “go” vorausgesetzt.

Ist das direkte Objekt mit einer Präposition verbunden, dann erübrigt sich das Objektglied.

Ja dadel ty go kniha. – Ona ide s on na stadion.

Im Falle der syntaktischen Inversion mit der Konkurrenz zwischen dem Subjekt und dem indirekten Objekt wird dem letzeren das Objektglied “mu” vorgesetzt. Ist das Objekt durch die Präposition hervorgehoben, dann entfällt das Objektglied (1). Der Einsatz von Attributen vor dem Objekt entbehrt das Objektglied nicht (2).

(1) “go pismo mu on pisa ja” —> “go pomoc od on prose ona”

(2) “go vest mu ona skaze ja” —> “go dobro vest mu ona skaze on”.

Das sind keine absoluten Regel, sondern das Minimum an Mitteln zur Gewährleistung der Verständlichkeit des Satzes. Sie können je nach Bedarf flexibel eingesetzt werden, um stilistische Akzente zu verdeutlichen oder inhaltliche Überschneidungen in den komplexen Sätzen zu vermeiden.

Als Beispiel der Möglichkeit des flexiblen Einsatzes der reduzierten grammatischen Mittel dieser Sprache fügen wir noch einen Auszug aus “Dem kleinen Prinzen” in interslawischer Übersetzung hinzu:

“… tuk on nov bil tuzno, kak pominal jej opusteno planeta, i kak stal nov smelo, prosel mu kral:

- Ja chte by da hleda kratko na zachod slonze… Prose, aide vy bude mil, poveli mu slonze da zachodi…

- Jestli ja prikaze nekoj general da leti kak motyl, nebo da slozi go tragedija, ili da stati morsko ptize i general ne spolni go prikaz, kto bude povineno v to – on nebo ja?

- Vy, vase velicestvo, – ne ceka go edno minuta da odpovedal Mal Prinz…”

 

El Sid, Skopje 1994

Verstrickungen um die Zahl π

Mit Stock und Strick

In einem Kinderbuch über ägyptische Pyramiden erzählte der Autor über einen Jungen, einen Novizen des Ammun-Tempels, der von den Priestern in ein Erdloch geworfen und auf Brot und Wasser gesetzt wurde, bis er das Rätsel über das Verhältnis zwischen dem Kreisdurchmesser und der Kreislänge löste. Die einzigen Messinstrumente, die ihm gewährt wurden, waren Stock und Strick.

Ein Happy-End war vorprogrammiert. Ein strahlender Held der aufkommenden mathematischen Wissenschaft war geboren – der Junge hatte das Rätsel gelöst und kam auf das Verhältnis, das dem Annäherungswert von π entspricht. Mehr als das war anscheinend aus dem Strick und Stock auch nicht herzuleiten.

Die Zahl erwies sich in vielen praktischen Belangen – vom Bauwesen, über die Landvermessung und Astronomie bis zu Kunst und Handwerk als unentbehrlich. Nur nicht genau genug. Wie sich später herausstellte. Und genauer ging es gar nicht, denn die Zahl ist irrational. Das heißt, ihr Teilungsverhältnis ist unendlich. Wenn man die Kreislänge durch den Durchmesser teilt.

Und wenn nicht? Wenn dieses Verhältnis über ein anderes, harmonisches dargestellt wird? Die Frage kommt jedem halbwegs gebildeten Menschen belanglos bis dumm vor. Aber ich frage mich das manchmal trotzdem und zwar aus gutem Grund. Mir scheint manchmal, dass wir des öfteren bereit sind, die alten Gelehrten, Baumeister und Künstler für eine plumpe Nichtigkeit zu vergöttern, indem wir ihnen unterstellen, diese Nichtigkeit ernst genommen zu haben.

Über die Misere mancher sich in letzter Zeit häufenden wissenschaftlicher Höhenflüge kann man sich lange genüsslich auslassen – “то у них собаки лают, то руины говорят…”, hat seiner Zeit Wladimir Wysotzky spöttisch gesungen – “die Wissenschaftler hätten entdeckt, dass Hunde bellen und die Ruinen sprechen”. So flackern von Zeit zu Zeit Meldungen auf über Feststellungen wissenschaftlicher Studien, dass Hunde Intelligenz besitzen (sicherlich im definitorischen Rahmen einer Theorie darüber, was unter Intelligenz zu verstehen ist) oder dass es gelungen ist, die Zahl π noch weiter bis zur “zigsten” Stelle zu errechnen, ohne dass man den Wahrheitswert der jeweiligen Theorie unter die Lupe nimmt. Die Erfolge der experimentellen Wissenschaft bewirken zuweilen den Missbrauch der experimentellen Methoden auf Kosten der Theorie. Sitzen wir in einem Boot und haben Ruder in der Hand, so werden wir noch nicht paddeln, nur weil wir es können, sondern erst, wenn das Land in Sicht ist.

In der Tat, welch größeren wissenschaftlichen Sinn sollte in Falle der Zahl π eine primitive Teilung einer Zahl durch die andere haben, zumal das Ergebnis nicht mal feststellbar ist? Und das sollen die Erbauer der Pyramiden für das höhere Wissen gehalten haben? Kann es sein, dass dieses Annäherungsverhältnis einfachheitshalber den einfachen Steinmetzen und Maurern vorbehalten war, während die Priester und Architekten es besser und genauer wussten? Und wenn ja, dann was wussten sie eigentlich? Wie konnten sie über Stock und Strick hinausgehen?

Aber zunächst gilt es zu prüfen, ob es notwendig ist, über diese Methode hinauszugehen. Jede Länge, auch die Kreislänge lässt sich als eine Strecke denken. Und jede Strecke, wie zum Beispiel, der Durchmesser – als ein Kreis. Das Verhältnis von π würde demnach dem Verhältnis zwischen zwei Kreislängen entsprechen oder zwischen zwei Durchmessern von zwei unterschiedlich großen Kreisen, beide in natürlichen Zahlen dargestellt. Nun, das ist gerade der springende Punkt. Wie kann das Ergebnis der Teilung einer beliebigen natürlichen Zahl durch die andere Zahl stets eine irrationale Zahl zur Folge haben? Und das sollten die alten Gelehrten einfach so hingenommen haben? Man würde es verstehen, wenn die Kreislängen oder Durchmesser wenigstens nicht messbar wären und stets nur Annäherungswerte lieferten. Aber das ist nicht der Fall.

Liegt also das Problem der Irrationalität allein in der Methode der Berechnung, zumindest im Fall von π? Bevor wir uns mit dieser Frage befassen, versuchen wir uns einfach vorzustellen, zu welchem Zwecke solche Berechnungen notwendig waren. Man will zum Beispiel wissen, wie dick der Baum ist, um sicher zu gehen, dass sich der Stamm als tragfähiger Balken eignet. Mit dem Strick wird sein Umfang gemessen und nun? Man teile durch π und schon hat man seinen Durchmesser. Man will also aus der bekannten Größe der Kreislänge auf den Durchmesser kommen. Ob man diese Strecke anders ermitteln kann?

Das müsste zu schaffen sein. In der Tat, stellt die Kreislänge nichts anderes dar als eine Strecke. Oder wenn man den Kreis streckt – zwei Strecken der halben Kreislängen. Nagelt man den Kreis an einem Punkt fest und zieht den Strick gleichzeitig zu den Seiten, so bekommt man ein Dreieck. Man kann so verschiedene Dreiecke produzieren, zum Beispiel, gleichschenklige sowie ein gleichseitiges Dreieck. Und ihre Höhen werden verschieden sein, aber die Summe der Seitenlängen bleibt stets die gleiche.

Empirisch nachprüfbar lässt sich der Kreis zu einem gleichseitigen Dreieck umformen – man braucht nur die Kreislänge durch 3 teilen. Die Höhe dieses Dreiecks bildet sodann den Durchmesser des gestreckten Kreises.

Also wenn zum Beispiel die Kreislänge 12 beträgt, so lässt sich aus diesem Kreis ein gleichseitiges Dreieck jeweils mit den Seitenlängen von 4 formen. Das Verhältnis der Seitenlänge zur Höhe des Dreiecks lässt sich nach dem Satz von Pythagoras errechnen: c² – (1/2)² = b², wo b = Höhe des Dreiecks und in unserem Fall √12. Soll das nun heißen, dass die Kreislänge immer über die diese Gleichung zu errechnen ist? Stimmt das? Oder steckt irgendwo doch ein Fehler drin? Ferdinand von Lindemann sei Dank, die Quadratur des Kreises gilt als unmöglich. So müssen wir nach anderen Wegen suchen.

Man kann auch weitere Transformationen der Kreislänge unternehmen. So stellt die Seitenlänge eines gleichseitigen Dreiecks die kleinere Kathete eines gleich großen rechtwinkligen Dreiecks und somit den Durchmesser gleich großen Kreises dar. Interessanterweise bildet solche Transformation auch das berühmte “ägyptische Dreieck” mit den Seiten 3, 4, 5 und andere klassische pythagoreische Trippel. Dieses Verhältnis gilt für die gesamte Trippelreihe, die damit in der Antike als Katalog “harmonischer” Kreislängen hätte genutzt werden konnte und für das die quadratische Funktion anwendbar wäre, so zu sagen – Berechnung “Pi mal Daumen” für die schlichen Gemüte. Aber trotz der Übereinstimmung der Seitenlängen mit der Kreislänge sind die Kathetenlängen der pythagoreischen Trippel leider Gottes stets von dem Durchmesser verschieden.

Dieser Umstand verspricht jedoch mindestens die Möglichkeit einer kommensurablen Lösung für die Relation, die traditionell durch π repräsentiert wird. Aber welche ist das nun?

Fassen wir das Erreichte zusammen. Betrachtet man das aus der Kreislänge geformte gleichseitige Dreieck genau, so stellt man fest, dass die Höhe dieses Dreiecks den Durchmesser des dazugehörigen Kreises ausmacht, nicht aber die Seitenlänge, von der sie geringfügig abweicht. Es wird sofort klar, dass eben diese Abweichung den inkommensurablen Wert der π-Berechnung ausmacht (2R x 3) + (0,14…. x 2R).

Andererseits bildet die Höhe des Dreiecks die größere Kathete eines rechtwinkligen Dreiecks, so dass für die Berechnung ihrer Länge der Satz von Pythagoras angewandt werden kann: Höhe b = √(c² – a²), wo (c + a) die Länge des Halbkreises ausmacht. Vorausgesetzt, man kennt den Wert der Kreislänge. Andererseits ist man auf die Zahl π angewiesen.

Außerdem ist Quadratwurzelziehung in einigen Fällen ein ziemlich unsicheres Unterfangen – man stößt laufend auf Annäherungswerte. Aus praktischer Sicht nicht gut zu gebrauchen, da bleibt man lieber bei der Zahl π. Hinzuzufügen wäre noch die Tatsache, dass die Kenntnis dieser Zahl anscheinend bereits lange vor Pythagoras verbreitet war. Seine Überzeugung über die Unmöglichkeit der Existenz irrationaler Zahlen sollte somit nicht seinem Satz entspringen, sondern der Kenntnis einer anderen kommensurablen Lösung.

Und zu guter letzt, sein Satz kann halbwegs sicher nur in Kenntnis der Kreislänge angewandt werden, nicht umgekehrt – aus dem Durchmesser auf die Kreislänge ohne die Zahl π zu schließen ist beschwerlich und nicht fehlerfrei.

So messe ich die Dreieckshöhe in unserem Beispiel und komme auf 3,5 bei einer Seitenlänge von 4. Aus der Wurzel von 12 resultiert diese Zahl jedoch nur als Annäherungswert. Bedenke man die Tatsache, dass die Fehlerquote mit der Größe des Durchmessers exponentiell ansteigt, so sollte man sich darauf nicht verlassen.

Was war also die kommensurable Lösung von π, wenn es eine gab?

Kehren wir zu Pythagoras und seinen Zeitgenossen zurück. Bekanntlich folgten sie dem Anschaulichkeitsgebot der euklidischen Geometrie, wonach als erwiesen nur das galt, was mit Zirkel und Lineal, oder bei uns – mit Stock und Strick bewiesen wird. Vergleichen wir nun die Längen des Durchmessers und des dazugehörigen gleichseitigen Dreiecks, so stellen wir eine Längendifferenz fest, die 1/7 des Durchmessers ausmacht. Die Summe dieses Anteils und des Faktors 3 (Anzahl der Seiten) bildet den Wert von π. Der genaue Wert dieses Faktoranhangs ist zwar genau so schwer zu errechnen wie die Zahl π selbst (vgl.: 1/7 = 0,1428571428…), aber als Streckenabschnitt einer bestimmten Länge sehr wohl messbar: 1/7 von 3,5 ist 0,5. Die Verwendung von π repräsentiert somit die Addition des dreifachem Durchmessers mit dem Produkt der Multiplikation des Durchmessers und eines Siebtels: 3D +(D x 1/7). Dieses letztere Produkt stellt aber seinerseits das Siebtel des Durchmessers dar. So lässt sich für die Kreislänge eine schlichtere Formel aufstellen: 3D +1/7D.

Die Überprüfung über den Faktor π ergibt eine geringfügige Abweichung, die aber ihrerseits direkt vom Ergebnis der Errechnung des Wertes von 1/7 abhängt, denn dieser Wert bestimmt den Faktor π selbst: π = 3 + 1/7. Mit anderen Worten, diese Abweichung ist mit der Ungenauigkeit der Zahl π begründet, nicht aber unserer Berechnung. Denn die Anwendung dieser alternativen Formel ermöglicht eine ganzzahlige Lösung. So resultiert aus dem Durchmesser von 7 eine Kreislänge von 22 (7 x 3 + 1), statt 21,98 bei π-Wert von 3,14 (der bekanntlich einen Annährungswert darstellt) und beim Durchmesser von 3,5 eine Kreislänge von 11, statt 10,99.

Aber das ist nun mal so eine Sache mit den Anteilen. “Sokrates, – fragten den alten Weisen Schüler von Protagoras, – du behauptest, dass du weißt, dass du nichts weißt. Aber wenn du das weißt, dann weißt doch etwas und folglich weißt du alles …” – “Wovon?” – fragte Sokrates. Auch hier wissen wir, dass der besagte Anteil von π ein Siebtel des Durchmessers ausmacht, aber welchen Anteil stellt dieser Wert bei der Seiten- und somit der Kreislänge dar? Nun fragen wir uns, warum müssen wir bei unserer Berechnung von einem Siebtel ausgehen, wenn dieses zugleich ein Achtel der Seitenlänge bildet? Oder liegt ein Messungsfehler vor? Tatsache, dem Durchmesser von 3,5 entspricht die Kreislänge von 11 und nicht von 12, ebenso bei der Kreislänge von 24 beträgt der Durchmesser ganze 7,64 statt bloß 7, was darauf zurückzuführen ist, dass die Höhe des kreisgleichen gleichseitigen Dreiecks nicht genau dem Durchmesser dieses Kreises entspricht. Wie es aussieht, lässt sich durch Triangulation eines Kreises der Durchmesser eines anderen Kreises errechnen. Nur stehen diese beiden Kreise in einer nachvollziehbaren Relation zueinander: 1/7 des Durchmessers des kleineren Kreises stellt 1/8 des Drittels des Umfangs eines größeren Kreises dar. Daraus lässt sich auch die Relation für die Triangulation des kleineren Kreises ableiten: 1/8 x 1/3 = 1/24 pro Seite des gleichseitigen Dreiecks.

Sollte ich, also aus dem Kreisumfang von 24 den Durchmesser dieses Kreises ermitteln, so teile ich den Umfang durch 3 und ziehe von dem Ergebnis 1/24 ab. Somit lässt sich diese Formel umkehren und auch zur Errechnung des Durchmessers ausgehend von der bekannten Kreislänge verwendet werden: D = KrL(Kreislänge): 3 – 1/24 S(Seitenlänge). Für die Kreislänge von 24 resultiert daraus: (24 : 3) – (8 : 24) ≈ 7,666 …, ein Wert, der mit der Teilung durch π vergleichbar ist: 24/π = 7,6433… .

 

 

Wenden wir diese proportionale Relation im besten Geiste der antiken Mathematik an, so werden wir feststellen, dass die Zahl π überflüssig wird. So, teile man den Durchmesser durch 7 und addiere das Ergebnis mit dem dreifachen Wert des Durchmessers, dann kommt man auf die Kreislänge ohne diese Zahl und teilweise (je nach Teilungsfähigkeit des Durchmessers) mit akzeptabler Präzision. Oder man teile die Kreislänge durch 3 und ziehe von dem Ergebnis 1/24 des Ergebnisses ab. Was braucht man mehr? Wozu ist die ganze Aufregung um die Irrationalität dieser Zahl? Warum sollen numerische Relationen nur auf Teilung basieren, auch dort, wo sich nichts teilen lässt? Wahrlich, manche Probleme haben keine Lösung, nur weil es keine Probleme sind.

So hat Ferdinand von Lindemann bewiesen, dass die Quadratur des Kreises wegen der Transzendenz der Zahl π keine Lösung hat. Und davon, dass diese Quadratur existiert, weiß Fritzchen zu berichten. Als dieser umtriebige Bengel eine Empfehlung fürs Gymnasium bekommen hatte, fuhr die ganze stolze Familie an die Ostsee in den Urlaub. Im Zug dachte Fritzchen über seine höhere Schullaufbahn nach.

“Vater, – fragte er schließlich. “Unser Lehrer sagte, wenn wir, etwas vom Lehrstoff nicht verstehen, müssen wir die Eltern fragen. Kann ich dich was fragen?” “Aber sicher, mein Großer, frag nur…” ” Naja, neulich erzählte der Lehrer von der Quarda.. , eh Quadratur des Kreises und ich habe nichts verstanden. Was ist diese Qua…dratur?” “Nun, schau mal. Wir fahren jetzt im Zug und die Räder von Waggon sind rund, also Kreise. Aber hörst du, wie es hin und wieder klopft – Tak-tak, tak-tak..?” “Ja.” “Das ist eben das besagte Quadrat im Kreise, das zuschlägt.”

Sowas doofes hätte sich kein alter Grieche oder Ägypter ausdenken können, schon weil die Fragestellung allein ihm undenkbar erschienen wäre. Ihr Bedarf an mathematischen Kunstgriffen war mit ihrer Proportionslehre und der Verrechnung der Anteile ausreichend gedeckt. Und es geht gar nicht darum, wie genau ein Siebtel von “1” errechnet ist, und ob überhaupt ein Siebtel in der Zahl π steckt, oder ein anderer, dennoch messbarer Anteil. Entscheidend ist die Frage, welcher Aufgaben sich die Wissenschaft von heute verpflichten soll – die Zahl π weiter zu errechnen, oder ihre definitorische Grundlage zu prüfen und daraufhin die Zusammenhänge unterschiedlicher numerischen Relationen zu erforschen. Diese Frage steht seit langem im Raum – die Antwort jedoch lässt auf sich warten.

El Sid, Quetzdölsdorf 2015

27 Knoten des Pythagoras und ein Mordfall

Mit nachfolgendem Beitrag eröffnen wir unsere neue Beitragsreihe in der Kategorie der Philosophie. Es scheint nur auf den ersten Blick verwunderlich, dass dieser Beitrag sich einem mathematischen Problem widmet. “Mathematiker” – “die Tätigen” so nannten sich die Schüler der pythagoreischen Schule, die sich mit der Forschung befassen wollten, im Unterschied zu den “Akusmatikern” – “den Zuhörenden”, die sich der Lehre, dem Wortlaut der Überlieferung des Meisters verschrieben hatten. Seine Lehre war weder mystisch, noch schamanistisch und ein richtiger Mathematiker war er auch nicht. Pythagoras bemühte sich um den Aufbau eines ganzheitlichen, oder wie man heute zu sagen pflegt – eines holistischen philosophischen Systems, dessen Konsistenz auf der Kommensurabilität der natürlichen Zahlenreihe basiert. Als Sprachwissenschaftler kann ich nur vermuten, dass er versuchte, wahrscheinlich dank seiner synästhetischen Gabe, die Zahlen über ihre Relationen rein semantisch zu definieren, er sah sie womöglich gar als konkrete Personen, die bestimmte Zwänge und Nöte, aber auch den freien Willen besitzen oder als Dinge, die Gründe haben und Zwecken dienen.

Sollte jemand der Auffassung sein, dass sei alles Humbug eines quasi-mathematischen Laien, so muss ich zwar zugeben, dass dieser Beitrag mit Absicht so laienhaft bzw. “populär” geschrieben wurde, dennoch erwidern, dass die im Beitrag aufgeworfenen Probleme der “Irrationalität” und der Zahlensemantik durch diesen Vorwurf nicht aus der Welt geschafft werden. Und das, dass es solche Probleme gibt, beklagt kein geringerer als einer der größten Philosophen der neusten Zeit und zugleich Nobelpreisträger der Mathematik Bertrand Russell.

Also werden die Skeptiker höflich gebeten, ihre Einwände im Gewand ordentlicher mathematischer Beweise vorzubringen, was wir als Laien nicht vermocht haben, damit wir sie anschließend publizieren können. Denn das ist das eigentliche Anliegen dieser Blogseite. Mit anderen Worten: “Zählt nach!”.

In den nächsten Beiträgen unternehmen wir zwei weitere Untersuchungen zur Irrationalität nach “Pythagoreischer Methode” und befassen uns mit der Zahl π sowie mit dem Fermatschen Problem. Also bleiben Sie uns treu, so können Sie dran bleiben!

Es ist bereits sehr lange her, als ich zum ersten Mal den doofen Kinderreim gehört habe: “пифагоровы штаны – на все стороны равны» – so etwas wie “die Pythagorsche Hose ist gleich vom Bund und bis zur Öse”, eine Eselsbrücke für den berühmten Satz aus der antiken Mathematik. Der Reim stimmte voll und ganz nicht und als Hose hat man dabei die auf den Seiten eines Dreiecks aufgebauten Quadratflächen gemeint, die wiederum auch ungleich waren. Aber die Hauptsache war der Satz und der stimmte, auf jeden Fall bei den Aufgaben aus dem Lehrbuch. Für mehr hatte man eigentlich auch keine Verwendung, denn die meisten Berechnungen im nicht mathematischen Alltag werden sowieso über den Daumen gepeilt, das heißt, man bedient sich der Annäherungswerte. Erst vor ein paar Jahren stolperte ich über die Geschichte der irrationalen Zahlen und musste feststellen, dass der berühmte Satz sich tatsächlich in einer Vielzahl der Fälle mit Annährungswerten begnügen musste.

Meine Welt brach dadurch nicht zusammen, aber sie wurde reicher um ein neues Problem. Denn es machte mich neugierig, welches Wissen haben wir eigentlich aus der Geschichte des Wissens geschöpft, was haben wir übersehen und was wäre aus unserem Wissen heute geworden, wenn wir das alte Wissen richtig verstanden hätten. Die alten Griechen wussten ziemlich genau, dass es die Geschichte als solche nicht gibt, sie ist nämlich eine Kunst – die Geschichtsschreibung, für die eine eigene Muse zuständig war. Auch die Erinnerungen und das Gedächtnis selbst sind nicht wahr und als Kunst unterstehen sie der Mnemosine. Dass sich auch die Wissenschaft irren kann, beweist die Gestalt der Urania und in unserer Zeit – die so genannte “W-Konvention”, die etwa andeutet, dass die Wahrheit des Wissens, vorerst die Wahrheit im Rahmen einer (Wissens-)Theorie ist.

Man sollte also nicht alles glauben, schon gar nichts von dem, was überliefert wurde. Zum Beispiel von der Mystifizierung der Zahl durch die Pythagoreer.

So wird berichtet, ein Schüler von Pythagoras hätte seine Lehre angezweifelt und ihn auf die Unzulänglichkeit seiner Theorie am Beispiel der Quadratwurzel aus “2” hingewiesen. Die lässt sich nämlich nicht ermitteln. Und so wurde angeblich die erste irrationale Zahl entdeckt. Daraufhin hätten ihn die anderen Schüler auf Geheiß von Pythagoras hingerichtet. Vieles scheint in dieser makabren Anekdote dennoch unstimmig zu sein und nicht nur weil andere ernsthafte Quellen den Vorfall anders schildern.

Zumal war diese Zahl nicht die erste irrationale Zahl – bekanntlich kannten bereits die Ägypter das Verhältnis der Kreislänge zum Durchmesser und die Griechen gaben dieser ältesten “irrationalen” Zahl den Namen “π”. Und beide haben kein Problem darin gesehen, diese für ihre praktischen Berechnungen anzuwenden. Dass dies dem großen Lehrer entfallen sein sollte, ist nicht anzunehmen. Hätte die Behauptung des ungläubigen Schülers bei Pythagoras eine solche Wut bis zur Mordlust ausgelöst, so könnte das nur mit dem Umstand zu erklären sein, dass er weder die Quadratwurzel aus “2”, noch die Zahl “π” für nicht “irrational” hielt, sondern sie laut seiner Lehre als eine numerische Relation betrachtete, die ihren Ausdruck auch in ganzen Zahlen findet. Selbstverständlich handelt es sich dabei nicht um den modernen Begriff der mathematischen “Irrationalität”, der als Bestandteil der mathematischen Theorie unangefochten bleibt und nicht um den “Schamanismus” der pythagoreischen Lehre, sondern vielmehr um die erste zahlentheoretische Diskussion der Wissenschaftsgeschichte.

Hippasos war der Name des Unglücklichen, dem seine lange Zunge zum Verhängnis werden sollte. Und ihn sich als Schüler eines ungelernten Steinmetzsohnes vorzustellen fällt einem schwer. Aus Metapont stammend war er eher als Schüler des älteren Zeitgenossen von Pythagoras – des berühmten Thales von Milet einzuordnen. Auf Pythagoras könnte dies ebenso zutreffen. Sollte man den überlieferten Anekdoten glauben, war Thales die größte Autorität in der damaligen Wissenschaft, denn es schien fast wie ein Wunder, die Höhe der Pyramiden über die Länge des eigenen Gehstocks zu ermitteln und das lange vor der Erfindung der Trigonometrie. Es scheint überhaupt so, als hätten weder die Ägypter, noch Babylonier, noch die Griechen die Trigonometrie gebraucht. Nur wissen wir, dass sie sie für ihren Land-und Städtebau gebraucht hätten. Es liegt nahe, dass sie sich für diese Zwecke anderer Methoden bedienten. Die Thales-Anekdote vermag somit einen Einblick in diese Methode zu gewähren. Näher betrachtet, war es eine für die antike Mathematik gängige Methode, über die Proportion zwischen den Schattenlängen der beiden auf die Länge der Pyramide zu schließen, sofern die Länge des Gehstocks bekannt war. So gesehen, war auch das Zahlenverständnis des Thales wie sonst in der Antike mit der Proportionslehre begründet. Umso unverständlicher erscheint ein möglicher theoretischer Konflikt zwischen den Pythagoreern und der Milet-Schule.

Der Konflikt fand dennoch statt. War Hippasos im Meer umgekommen, weil die Götter ihn bestraft hatten oder war er von Mitschülern für das Brechen des Schweigegelübte hingerichtet worden, weil er das Geheimnis preisgegeben hatte, ist hier nicht wichtig. Denn wäre es ein Geheimnis der pythagoreischen Lehre, dann wäre Pythagoras die “Irrationalität” der Zahlen bewusst gewesen und hätte einen integrierten Teil seiner Theorie gebildet. Aber das, was wir von ihr wissen, widerspricht dieser Annahme. Die “Irrationalität” von π und der Wurzel aus 2 war lange vor seiner Zeit bekannt und wohl geduldet. Vor allen in den praktischen Berufen, was Pythagoras als Sohn eines Steinmetzes wohl vertraut war. Dieser Umstand lässt doch vermuten, dass seine Beweisführung ohne “Irrationalitätsannahme” auskommen konnte. Ein “geheimes” Wissen der ägyptischen oder chaldäischen Priester war es sicherlich nicht. Es ist lächerlich, zu vermuten, dass er in die “Lehre” bei diesen Tempelgelehrten gehen konnte – ein Baugeselle von Samos in Babylon oder Memphis, eher als Sklave oder noch wahrscheinlicher als Wanderarbeiter oder Söldner. Um diese Zeit (570-513v.Ch.) unterstanden bereits nicht nur die kleinasiatischen griechischen Stadtstaaten, sondern auch Babylon und nach dem Einfall von Kambis in Ägypten 525 v.Ch. auch das Nildelta der persischen Herrschaft. In dem neuen Riesenreich bildete sich ein neuer riesiger Arbeitsmarkt heraus, wo arme griechische Inselbewohner ihr Glück versuchten. Und auch ägyptische Priester waren mangels praktischer Forschungsübung sicherlich nicht weit über das überlieferte Wissen hinaus – der letzte praktizierende Architekt aus ihren Reihen – der “göttliche” Imhotep war seit ca.3000 Jahren bereits tot.

Wenn wir über die Beweise aus dieser frühen Zeit nachdenken, dürfen wir die damaligen Zeiten und die Gesellschaft nicht verklären. Hart war das Leben und rau waren die Sitten. Als Pythagoras in Kroton an der süditalischen Adriaküste in Gräcia Magna eintrifft, ist er ein Flüchtling oder ein Glücksritter, dem die reiche ferne Kolonie neue Aufstiegschancen bietet. Diese nutzt er, in dem er eine Privatschule unterhält und sich mit der Landvermessung beschäftigt. Als weitgereister und deshalb weiser und geachteter Mann schien er das Vertrauen seiner Kunden sicherlich gewonnen zu haben. Ob er diesem Vertrauen immer gerecht blieb, könnte bezweifelt werden. Dass er bei seinen Wanderungen sicherlich keine Reichtümer anhäufen konnte, ist anzunehmen. Zur vornehmen Gesellschaft zählte er und seine Verwandtschaft auf Samos nicht und um seinen Erbanteil war er anscheinend betrogen worden, sonst hätte er nicht die Flucht nach vorn, in die ferne italische Kolonie ergriffen. Dort angekommen musste er sich mit den “besseren”, mit der lokalen Aristokratie gut stellen, sonst hätte er ohne Vermögen und Auskommen keine Chance sich in der Gesellschaft zu etablieren gehabt. Und das waren Emporkömmlinge, die dank ihren Latifundien und dem florierendem Handel reich geworden waren und die die Macht in Kroton unter ihren meist zerstrittenen Familien aufgeteilt hatten. Er machte bei den Machtspielen mit, klug paktierend sicherte er sich seine Schülerschaft aus den aristokratischen Familien und ließ sich in dieser Vertrauensposition als Gelehrter und Landvermesser wahrscheinlich auf einige krumme Geschäfte mit Bodenspekulationen ein. Sein “politisches” Engagement für den Krieg gegen Sybaris lässt die Vermutung des Eigennutzes bei der Aufteilung erbeuteter Latifundien zu. Die Korruption scheint somit ein archetypisches Merkmal der süditalienischen Gesellschaft zu sein.

Sicherlich gab es kritische Stimmen, Unmut und Verdächtigungen, aber keiner konnte Pythagoras das Handwerk legen und seine mathematische Kunst wiederlegen. Denn seine Schüler behielten das Schweigen. Der Bruch des “Omerta” – Gesetzes der italienischen und nicht zuletzt kalabrischen Mafia wird auch heute in diesen berüchtigten Kreisen mit dem Tode bestraft. Anders ist der fürchterliche Zorn über den Hippasos nicht zu erklären. Dieser behauptete, Pythagoras täuscht mit seinem Satz falsche Vermessungsergebnisse vor, denn der Satz ist nicht immer zur Berechnung anzuwenden – zum Beispiel bei Längen der Katheten gleich “1”. Es wäre sicherlich auch nicht so weit gekommen, wäre es nur bei einer theoretischen Diskussion über die veröffentlichten Schriften geblieben. Aber es kam anders.

Hippasos suchte seit langem nach seiner Aufstiegschance, die ihm im Schatten des großen Lehrers versagt blieb. Auch er versuchte als Glücksritter in der aufstrebenden Metropoloe von Magna Gräcia Fuß zu fassen. So reiste er nach Kroton, besuchte als Gasthörer die Schule von Pythagoras, hörte sich auf der Agora um, und als er die Gerüchte über das korrupte Verhalten von Pythagoras vernahm, beschloss er ihm seine Position streitig zu machen.

Eines schönen Tages ging auf die Agora und verkündete, die Lehre von Pythagoras sei falsch und er betrüge die Bürger der Stadt mit seinen Vermessungsergebnissen mehrheitlich. Bald scharrte sich eine wütende Menge der Unzufriedenen um ihn und schon erschallten die Rufe, Pythagoras zu verbannen oder hinzurichten. Der alte Lehrer war gerade mit seinem Esel auf dem Markt angekommen und feilschte mit den Händlern um frische Feigen. Die Händler mochten ihn nicht – er war wählerisch bis unverschämt: wühlte die schön angehäuften Früchtepyramiden auseinander, quetschte die Feigen und lutschte sie zur Probe aus. Der unappetitliche Anblick des zahnlosen Greises und seine ewigen Nörgeleien machten ihn zum Gespött der Händler, die ihm um die Wette Bohnen anzubieten versuchten, wohl wissend dass er sie verteufelte. Diesmal waren sie noch dreister als sonst und schickten ihn weg vom Stand – er solle zur Menschenmenge um Hippasos gehen und sich deren Beschuldigungen stellen.

“Hippasos, – zuckte Pythagoras die Schulter, – den Jungen kenne ich. Er blickt ja gar nicht durch. Was kann er gegen meine Lehre aufbringen?”

“Das wirst du schon sehen. Und dich für deine Verbrechen verantworten”, – die Schadensfreude des Händlers war nicht zu überhören.

Während Pythagoras sich der aufgebrachten Menge näherte, wurden die Rufe noch lauter und schon griffen einige nach seiner Kleidung als Hippasos die Menschen aufforderte, Pythagoras zu ihm durch zu lassen:

“Gestehst du das Unrecht deiner Lehre?”

“Warum sollte ich das? Was hast du dagegen vorzubringen?”

“Nun, besagt dein Satz, dass die Summe von Quadraten der Katheten eines rechtwinkligen Dreiecks das Quadrat der Hypotenuse ausmacht. Aber wenn das Quadrat der Hypotenuse gleich “2” ist, so lässt sich die Länge der Hypotenuse nicht bestimmen. Also, solltest du Recht haben, dann nehme ich mir den Strick. Wie kannst du nun behaupten, dass du mit deiner Kunst den Boden dieser armen Gutgläubigen richtig vermessen hättest?

Langsam mit einem gelangweilten Seufzer drehte sich Pythagoras zu seinem Esel um, löste einen verknoteten Strick an seinem Maul, verband ihn mit seinem Stock, zeichnete ein Kreuz im Staub der Agora und zog einen Kreis um das Kreuz.

“Du meinst, wenn die Längen der Katheten “1” betragen, dann ist es unmöglich die Länge der Hypotenuse zu errechnen. Zwecks besserer Anschauung nehmen wir an, die “1” ist gleich fünf Fünftel. Ist dir das recht? Nun lege ich die Länge von 5 Knoten auf dem Radius ab und im rechten Winkel dazu noch mal so viel bis zum Kreisrand. Ist das auch richtig? Nun, schauen wir mal, wie viele Knoten die Länge der Hypotenuse misst. Also, ganze sieben Knoten. Wie du siehst, das geht – wenn die Katheten jeweils fünf Fünftel betragen, beträgt die Hypotenuse sieben Fünftel.”

Hippasos nickte anfangs siegesbewusst, bis er merkte, dass Pythagoras ihn überführt hatte. Er sah sich nach einem Fluchtweg um, aber die Menschenmenge rückte immer mehr zusammen, um die Ausführungen von Pythagoras besser zu sehen.

“Hier hast du deinen Strick. Miss nach! Und sollte ich Recht haben, so solltest du zu deinem Wort stehen. Ist das nicht so, ehrenwerte Bürger von Kroton? Oder welche Strafe verdient ein Fremder, der Euch mit falschen Anschuldigungen gegen eure Mitbürger aufbringt?”

“Der Strick ist falsch! Er hat ihn manipuliert! Das kann nicht sein!” – wandte Hippasos sich an die Zuschauer, die des Theaters bereits überdrüssig wurden und ihren Zorn auf Hippasos entluden. Mit Mühe entging er dem Lynchgericht des Mobs und fand Zuflucht auf einem Schiff, das gerade vom Kai ablegte. Das Ende ist überliefert. Das Schiff geriet in einen Sturm und ging mit samt dem unglücklichen Hippasos unter.

Ob es sich so oder anders zugetragen hatte, schweigt die Muse. Aber möglich wäre es schon. Es ist nämlich nicht nachvollziehbar, warum Pythagoras sich über die Einwände von Hippasos aufregen sollte. Als Sohn eines Steinmetzes wusste er sehr wohl mit einem Winkelmaß umzugehen. Mit einem mit beweglichen oberen Arm, mit dem man einen Kreis ziehen kann, so dass seine Länge den Radius ausmachte. Hänge man an diesen Arm einen Lot an, schon hat man die Maße eines rechtwinkligen Dreiecks mit der Hypotenuse als Kreisradius und der Kathete als Länge des Lots bis zum Schnittpunkt mit dem unteren unbeweglichen Arm, dessen Länge zum Schnittpunkt die Länge der zweiten Kathete ausmacht.

So musste ihm auch bekannt sein, dass Hypotenusen der gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecke gleich bleiben, wenn man sie durch die Verschiebung des Winkelmaßes zu nicht gleichschenkligen formt. Während sich die Längen der Katheten verändern, bleibt die Länge der Hypotenuse gleich. So ließ sich ihre Länge aus den Längen der Katheten doch ermitteln, sofern sie nicht gleich lang waren, z.B. nicht gleich “1”, wie Hippasos monierte (man vergleiche beispielsweise: 7²+6² = 85 (c²) und 9²+2²= 85 (c²)). Sicherlich hatte Pythagoras für solche Transformationen auch eigene Tabellen angelegt oder weitere Sätze zu Kongruenzen formuliert – wie sonst wäre er ohne Trigonometrie bei seiner Vermessungstätigkeit zu Recht gekommen? Nur wissen wir es nicht mehr. Eines steht fest, mir einer solchen Argumentation hätte er die Gemüter nicht beruhigen und die aufgebrachten Menschen für sich gewinnen können. Auch wenn er verkündet hätte, Hippasos wäre des Alphabets nicht mächtig, denn wenn die Katheten gleich lang sind, dann würde der Satz lauten müssen: 2a² = c², was nicht der Fall ist. So oder so hätte er die Ausnahmen aus seinem Satz preisgeben müssen und damit Hippasos teilweise Recht gegeben. Denn letztlich ist 5² + 5² nicht gleich 7² und eine solche geringfügige Diskrepanz ist bei allen gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecken zu verzeichnen.

Wie es scheint, fehlte Hippasos dieses praktische Wissen, sonst hätte er nicht angenommen, der Satz von Pythagoras gelte auch für gleichschenklige rechtwinklige Dreiecke. Dass Pythagoras diese geometrische Eigenart nicht bekannt war, ist allerdings stark zu bezweifeln. Sein überlieferter Beweis stellt lediglich eine Veranschaulichung der Übereinstimmung der Flächeninhalte dar, nach dem Prinzip – “Zähle nach!”, einem bewerten Argumentationsmuster, dessen Hodscha Nasreddin sich anderthalb Tausend Jahre später weiterhin bediente. “Wie viele Sterne gibt es am Himmel?”, wurde er mal gefragt. Um einen sakramentalen Witz nimmer verlegen, erwiderte er – “genau so viele, wie Haare auf dem Rücken meines Esels.” Und als die Skeptiker dies anzweifelten, forderte er sie auf: “Zählt nach!”.

Könnte von Pythagoras stammen. Aber Spaß bei Seite. Unter den über 400 heute aktenkundigen Beweisen seines Satzes handelt es sich meistens um einen weiteren Nachweis der Flächenberechnung, nicht aber um das Verhältnis zwischen den Seitenlängen des Dreiecks, obwohl für die antike Mathematik eben diese proportionale Relation vom Belang war und schon aus diesem Grund die Annahme der Irrationalität so abwegig zu sein schien. Und warum soll man überhaupt dem Beweis anhand von Annäherungswerten Glauben schenken, nur weil einige Werte in ganzen Zahlen ausfallen. So genau stimmt dies nur für die von den Abmessungen des “ägyptischen Dreiecks” abgeleitete pythagoreische Trippel-Reihe. Und was, wenn sie ein Sonderfall ist? Wie kommt man ausgerechnet auf Quadratfunktionen, hat sich später auch Fermat gefragt?

Dieses Verhältnis ist also gar nicht so einfach, wie es auf den ersten Blick zu sein scheint. Denke man aber an seinen verknoteten Strick, so scheint die Lösung allerdings greifbar zu sein. Gehe man davon aus, dass sich jedes Dreieck zu einem pythagoreischen Trippel verformen lässt wobei die Summe der Kathetenlängen stark variiert (vgl. im obigen Beispiel: 7+6=13; 9+2=11), so muss man annehmen, dass diese sich auf eine bestimmte Ausgangsgröße bzw. bestimmtes Eichmuster zurückführen lassen. Dieses ist ein gleichseitiges Dreieck mit der Seitenlänge gleich Radius des um das Dreieck gezogenen Halbkreises gleich Hypotenuse etwaiger in den Sektor eingeschriebener rechtwinkliger Dreiecke. In unserem Fall mit Hippasos waren es genau 21 Knoten (3 x 7), so dass jede Kathete den gleichen Abschnitt der Hypotenusenlänge ausmachte.

Setzt man statt Winkelmaß einen solchen Strick zur Berechnung der Längen ein, so wird einem deutlich, dass je nach Neigungswinkel der Hypotenuse sich die Seitenlängen verändern und damit auch ihre Differenzbeträge zur Länge der Hypotenuse. Betrachtet man die Zusammensetzung der Hypotenusenlänge, so kommt man zur Überzeugung, dass diese sich aus der Länge der jeweiligen Kathete und dem Differenzbetrag zwischen der Kathete und der Hypotenuse zusammensetzt. Und so lässt sich auch die Formel seines Theorems deuten: a² + b² = c², wo c² = (a + d)² und d = c – a. So gesehen lässt sich die Länge der Hypotenuse aus der Gleichung (a + d)² =(a² + d²) + 2ad leicht ermitteln: (c² – a²): 2a = d + √d². Der dabei anfallende Restbetrag stellt die Quadratpotenz des gesuchten Wertes “d” dar, vgl.: 1) (25 – 9); 2) 16: 6 =2 + 4(Restbetrag) 3) √4 = 2. Die Länge der Hypotenuse stellt somit die Summe der Kathetenlänge und der Wurzel des Restbetrages dar. Das gleiche gilt für die andere Kathete: 5 = 4 + √1 aus ((25 – 16): 8) + 1(Restbetrag). Setzt man diese Formel in die 21 Knoten-Rechnung ein, so überzeugt man sich, dass diese bei dem Wert der Hypotenuse von “7” stimmt: ((49 – 25)/10) = 2 + 4 (Restbetrag); c = 5 + √4 = 7. Damit lässt sich belegen, dass Pythagoras seinen Satz in der uns bekannten Form für die Berechnung der gleichschenkligen rechtwinkligen Dreiecke nicht gebraucht hätte, sie wäre ja gar irreführend. Denn setzt man statt ” 49″ in die Rechnung die Summe von Quadraten ein: (a²+ b²) = 50, so beträgt die Hypotenuse: 5 + √5, was zwar als Annäherungswert annehmbar ist, jedoch die Zahl der Knoten übersteigt. Diese spezielle Ausführung des Satzes hängt sicherlich mit seinem philosophischen System zusammen, mit “vollständigen” und “unvollständigen” Zahlen und war wohl sein besonderer Trumpf, deshalb blieb sie für die Nachwelt verborgen.

Denn wenn das so einfach ist, dann fragt es sich, warum Pythagoras diese Formel nicht als Beweis angeführt hat. Wahrscheinlich, weil es ihm gar nicht darum ging, die Längen zu ermitteln, sondern nur darum seine Vermessungsmethode anschaulich darzustellen. Was hätte er sonst für einen Grund gehabt sein kryptisches Wissen überhaupt preiszugeben und zugleich seinen Jüngern die Schweigepflicht aufzuerlegen? Wie es aussieht, hat er nichts von seinem Wissen verraten, außer dem, was bereits längst allgemein bekannt war.

Auch wenn Pythagoras das Problem mit der Irrationalität von √2 gekonnt überspielte, bleibt die Frage nach seinem Verhältnis zu einer anderen in der Antike bekannten irrationalen Zahl, nämlich der Zahl π noch unbeantwortet. Hippasos belegte lediglich die Inkommensurabilität des Verhältnisses der Seite eines Quadrats zu seiner Diagonale. Mit anderen Worten – über die Seite lässt sich die Diagonale nicht errechnen. Die Tatsache, dass sie aus einem anderen Verhältnis errechnet werden kann, steht auf einem anderen Blatt geschrieben. In der Tat, sollte der alte Gelehrte die Irrationalität der Zahlen nicht akzeptiert haben, dann wäre es mindestens inkonsequent seinerseits die Irrationalität von π zu tolerieren. Oder hat Pythagoras auch hier eine relationale Beziehung entdeckt, die uns die Muse der Geschichtsschreibung verschwiegen hat? Darüber kann man in der nächsten Ausgabe nachlesen.

Ell Sid, 2014                    

 

 

Idiota de mente

Willkommen zur Erstausgabe des akademischen Blog-Magazins der Freien Akademie Quetz. Sein Titel “Idiota de mente” in Anlehnung an den cusanischen “Laien des Geistes” ist zugleich sein Programm – eine ultimative Antwort auf die Fragen zu geben, die die Welt nicht braucht. Vorerst. Und diese Fragen müssen zuerst aufgeworfen werden und zwar ohne Rücksicht auf die akademischen Autoritäten oder zeitweilige Prioritäten. Sie sind vergänglich, aber manche Fragen sind ewig. Und ewig ist die “heilige Jagd nach der Wahrheit”, der Nikolaus von Cues verpflichtet war. Sein Vermächtnis und die sokratische Überzeugung von der Freiheit der Ideen liegen diesem neuen Forum zum öffentlichen Austausch wissenschaftlicher Ideen und Meinungen zu Grunde.

Die aktuellen Beiträge behandeln einige Fragen aus der Philosophie, Sprachwissenschaft und Technik – Schwerpunkte der Autorenforschung:

“Interslavica” -Zu Grundlagen des interlinguistischen Projektes Interslavica.
von El Sid

“Wie Mähren mären” – Mähren und Deutsch
Zu Germanismen in der tschechischen Sprache. Von Prof. Dr. Wolf Oschlies

21 Knoten des Pythagoras und ein Mordfall – eine heitere Geschichte der Rekonstruktion antiker mathematischer Beweise.
Von El Sid

Verstrickungen – Verstrickungen um die Zahl Pi oder eine weitere Geschichte zur Rekonstruktion antiker mathematischer Beweise. Von El Sid

Das Fermatsche Problem mit Pythagoras – die vorerst letzte Geschichte zur Methode antiker mathematischer Beweisführung. Von El Sid

Perpetuum-mobile “Gravitron” – Patentschrift zu einer technischen Lösung eines philosophischen Problems

Legenden und Märchen – Legenden von den Heide-Statuen – Literatur zum Selbermachen (Projekt “Bäumeleben”)
Von El Sid

Aber damit sind wir bei weitem noch nicht am Ende, denn jeder neue Autor kann uns mit seinen Beiträgen kontaktieren und seine eigene Kategorie eröffnen bzw. bedienen. Für das, was sein Wissenschaftlerherz begehrt haben wir ein offenes Ohr. Also, lasst hören, Leute!

So, und nun genug geschwafelt – jetzt nichts wie ran ans Bloggen!